4.5 Utilizando a tensão admissível de 16 ksi, determine o maior momento que pode ser aplicada a cada cano.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado a cada cano, usando a tensão admissível de \,16\\ \text{ksi}\,.
Informações fornecidas (peguei estes valores da figura):
  • Para o cano (a): espessura da parede \,0{,}1\\ \text{in}\, e raio interno \,0{,}5\\ \text{in}\,.
  • Para o cano (b): espessura da parede \,0{,}2\\ \text{in}\, e raio interno \,0{,}5\\ \text{in}\,.
  • Tensão admissível: \, \sigma_{\text{adm}} = 16\\ \text{ksi}\,.
O que precisamos achar:
  • M_{1,\max} para o cano (a).
  • M_{2,\max} para o cano (b).

Passo 2

Conceito básico (fórmula de flexão linear) — o que é e por que usamos:
  • Em flexão simples a máxima tensão normal na fibra mais externa é dada por
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I},
onde:
  • \sigma_{\max} é a tensão máxima na fibra exterior (unidade: \text{ksi} ou \text{psi}),
  • M é o momento fletor aplicado (unidade: \text{kip}\cdot\text{in} ou \text{lb}\cdot\text{in}),
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais extrema (no círculo o raio externo, em \text{in}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: \text{in}^4).
Explicando em linguagem simples: a fórmula diz que quanto maior for o momento, maior a tensão na borda; para uma dada tensão admissível, podemos isolar M e achar o máximo permitido.

Passo 3

Isolando o momento máximo admissível:
M_{\max}=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{c}.
Aqui vamos usar \sigma_{\text{adm}}=16\\ \text{ksi}. Se usarmos \sigma em \text{ksi} e I em \text{in}^4 e c em \text{in}, o resultado M vem em \text{kip}\cdot\text{in} (porque 1\\ \text{ksi}=1\\ \text{kip}/\text{in}^2).

Passo 4

Fórmula do momento de inércia para seção circular oca:
  • Para um tubo com raio externo R_o e raio interno R_i,
I=\frac{\pi}{4}\left(R_o^4-R_i^4\right).
Aqui:
  • R_o é o raio externo (em \text{in}),
  • R_i é o raio interno (em \text{in}).
Justificativa curta: o momento de inércia do círculo maciço é \pi R^4/4; para o tubo subtrai-se o círculo interno.

Passo 5

Calculando para o cano (a) passo a passo.
Dados (peguei da figura):
  • R_i=0{,}5\\ \text{in}.
  • espessura t=0{,}1\\ \text{in} \Rightarrow R_o=R_i+t=0{,}5+0{,}1=0{,}6\\ \text{in}.
  • c=R_o=0{,}6\\ \text{in}.
  • \sigma_{\text{adm}}=16\\ \text{ksi}.
Calcule R_o^4 e R_i^4:
R_o^4 = (0{,}6)^4 = 0{,}1296, \qquad R_i^4 = (0{,}5)^4 = 0{,}0625.
Subtraindo:
R_o^4-R_i^4 = 0{,}1296-0{,}0625 = 0{,}0671.
Agora I:
I=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}0671 \approx 0{,}0527\\ \text{in}^4.
Aplicando a fórmula de M_{\max}:
M_{1,\max}=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{c} =\frac{16\\ \text{ksi}\times 0{,}0527\\ \text{in}^4}{0{,}6\\ \text{in}} \approx 1{,}41\\ \text{kip}\cdot\text{in}.
Conversões úteis:
1{,}41\\ \text{kip}\cdot\text{in}=1{,}41\times 1000\\ \text{lb}\cdot\text{in}=1410\\ \text{lb}\cdot\text{in},
1410\\ \text{lb}\cdot\text{in} \div 12 \approx 117{,}5\\ \text{lb}\cdot\text{ft}.

Passo 6

Calculando para o cano (b) passo a passo.
Dados (peguei da figura):
  • R_i=0{,}5\\ \text{in}.
  • espessura t=0{,}2\\ \text{in} \Rightarrow R_o=0{,}5+0{,}2=0{,}7\\ \text{in}.
  • c=R_o=0{,}7\\ \text{in}.
  • \sigma_{\text{adm}}=16\\ \text{ksi}.
Calcule potências:
R_o^4=(0{,}7)^4=0{,}2401, \qquad R_i^4=(0{,}5)^4=0{,}0625.
Diferença:
R_o^4-R_i^4 = 0{,}2401-0{,}0625 = 0{,}1776.
Agora I:
I=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}1776 \approx 0{,}1394\\ \text{in}^4.
Aplicando a fórmula de M_{\max}:
M_{2,\max}=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{c} =\frac{16\\ \text{ksi}\times 0{,}1394\\ \text{in}^4}{0{,}7\\ \text{in}} \approx 3{,}19\\ \text{kip}\cdot\text{in}.
Conversões:
3{,}19\\ \text{kip}\cdot\text{in}=3190\\ \text{lb}\cdot\text{in},
3190\\ \text{lb}\cdot\text{in}\div 12 \approx 265{,}8\\ \text{lb}\cdot\text{ft}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo:
  • O cano com parede mais espessa (b) resiste a um momento bem maior porque o seu momento de inércia I cresce rápido com o raio (ordem quarta potência). Resultado numérico: M_{2,\max} é mais de duas vezes M_{1,\max}.
  • Mandou bem por chegar até aqui — se precisar, repito os cálculos com maior precisão ou mostro como fazer isso numa calculadora passo a passo.

Resposta

M_{1,\max}=1{,}41\\ \text{kip}\cdot\text{in}=1410\\ \text{lb}\cdot\text{in}\approx117{,}5\\ \text{lb}\cdot\text{ft}
M_{2,\max}=3{,}19\\ \text{kip}\cdot\text{in}=3190\\ \text{lb}\cdot\text{in}\approx265{,}8\\ \text{lb}\cdot\text{ft}

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