Exercício 8 Determine a multiplicidade m da raiz r=1 na equação P(x)=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1=0
Solução 8.1 (Primeira solução)
1 1 -2 1 -1 2 -1
-2+1.1 1+1 .(-1) -1+1.0 2+1 .(-1) -1+1.1.
1 -1 0 -1 1 0
\Longrightarrow P(x)=(x-1) \underbrace{\left(x^{4}-x^{3}-x+1\right)}_{Q_{1}(x)}, \operatorname{com} Q_{1}(1)=0 . \text { Logo, } m \geq 2
1 1 -1 0 -1 1
-1+1.1 0+1.0 -1+1.0 1+1 .(-1)
1 0 0 -1 0
\begin{aligned} Q_{1}(x) & =(x-1) \underbrace{\left(x^{3}-1\right)}_{Q_{2}(x)}, \operatorname{com} Q_{2}(1)=0 . \text { Logo, } m \geq 3 \\\ & \Longrightarrow P(x)=(x-1)^{2}\left(x^{3}-1\right) \end{aligned}
1 1 0 0 -1
0+1.1 0+1.1 -1+1.1
1 1 1 0
\begin{aligned} & \Longrightarrow Q_{2}(x)=(x-1) \underbrace{\left(x^{2}+x^{2}+1\right)}_{Q_{3}(x)}, \operatorname{com} Q_{3}(1)=3 \neq 0 . \text { Logo, } m=3 \\\ & \Longrightarrow P(x)=(x-1)^{3} Q_{3}(x) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1
e pede a multiplicidade da raiz r=1. Vamos usar divisão sintética repetida por x-1 e testar em cada quociente se x=1 ainda é raiz.

Passo 2

Aplicando divisão sintética de P(x) por x-1 (raiz 1) com coeficientes (1,\,-2,\,1,\,-1,\,2,\,-1):
  • Baixamos 1.
  • Multiplicamos por 1 e somamos coluna a coluna, gerando novos coeficientes (1,\,-1,\,0,\,-1,\,1) e resto 0.
    Logo
P(x)=(x-1)\bigl(x^{4}-x^{3}+0x^{2}-x+1\bigr)=:(x-1)Q_{1}(x).
Como o resto é zero, x=1 é raiz de P e Q_{1}(x)=x^{4}-x^{3}-x+1.

Passo 3

Testamos Q_{1}(1)=1-1-1+1=0, então ainda é raiz. Dividimos Q_{1}(x) por x-1 com coeficientes (1,\,-1,\,0,\,-1,\,1):
  • Baixamos 1.
  • Repetimos o processo, obtendo quociente de coeficientes (1,\,0,\,0,\,-1) e resto 0.
    Portanto
Q_{1}(x)=(x-1)\bigl(x^{3}-1\bigr)=:(x-1)Q_{2}(x).
Como Q_{2}(1)=1-1=0, concluímos m\ge3.

Passo 4

Agora dividimos Q_{2}(x)=x^{3}-1 por x-1 (coeficientes (1,0,0,-1)):
  • Baixamos 1.
  • Após o processo, o quociente tem coeficientes (1,\,1,\,1) e resto 0, ou seja
Q_{2}(x)=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=:(x-1)Q_{3}(x).
Agora Q_{3}(1)=1+1+1=3\neq0, então não dá mais para dividir por x-1.

Resposta

A multiplicidade da raiz r=1 em P(x) é m=3.

Exercícios relacionados