Seja a função f(x)=x^{2}-2|x|.
(a) Encontre f_{+}^{\prime}(0) e f_{-}^{\prime}(0);
(b) A função é derivável em x=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^{2}-2\lvert x\rvert
e pede:
(a) as derivadas laterais em 0, isto é, f'_{+}(0) e f'_{-}(0);
(b) verificar se f é derivável em x=0.
O conteúdo usado será derivada de função peça-por-peça e definição de derivada lateral.

Passo 2

Para x\ge0 temos \lvert x\rvert=x, logo
f(x)=x^{2}-2x\quad(x\ge0),
e
f(0)=0^{2}-2\cdot0=0.
Usando a definição de derivada lateral pela direita,
f'_{+}(0)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^{+}}\frac{h^{2}-2h-0}{h} =\lim_{h\to0^{+}}\bigl(h-2\bigr) =-2.

Passo 3

Para x<0 temos \lvert x\rvert=-x, logo
f(x)=x^{2}+2x\quad(x<0).
Analogamente, pela definição de derivada lateral pela esquerda,
f'_{-}(0)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^{-}}\frac{h^{2}+2h-0}{h} =\lim_{h\to0^{-}}\bigl(h+2\bigr) =2.

Passo 4

Como
f'_{+}(0)=-2 \quad\text{e}\quad f'_{-}(0)=2,
as derivadas laterais não coincidem. Logo f não é derivável em x=0.

Resposta

(a) f'_{+}(0)=-2 e f'_{-}(0)=2.
(b) Não, pois as derivadas laterais em 0 são diferentes.

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