Considere a função:
f(x)=x^{\frac{1}{3}}
(a) Usando a definição de derivada (“por limite”), determine f^{\prime}(x).
(b) Determine os valores de x \in D(f) nos quais a reta tangente ao gráfico de f tem coeficiente angular igual a 1 / 6.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x)=x^{\tfrac13}\,,
a) calcular f'(x) usando a definição pela diferença de quocientes
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
b) achar os pontos em que a reta tangente tem coeficiente angular 1/6.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{\frac13}-x^{\frac13}}{h}.
Para avaliar este limite, multiplicamos numerador e denominador pelo “conjugado de cubo”
(x+h)^{\frac23} + (x+h)^{\frac13}x^{\frac13} + x^{\frac23},
pois
a-b=(a^{3}-b^{3})\big/\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Assim
\frac{(x+h)^{\frac13}-x^{\frac13}}{h} =\frac{(x+h)-x}{h\bigl[(x+h)^{\frac23}+(x+h)^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}\bigr]} =\frac{1}{(x+h)^{\frac23}+(x+h)^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}}.
Fazendo h\to0, cada termo (x+h)^{k/3}\to x^{k/3}, daí
f'(x) =\frac{1}{3\,x^{\frac23}} =\frac{1}{3}\,x^{-\frac23},
válido para x\neq0. Em x=0 o limite diverge, logo f'(0) não existe.

Passo 3

Queremos f'(x)=\tfrac{1}{6}. Então
\frac{1}{3}\,x^{-\frac23}=\frac{1}{6} \quad\Longrightarrow\quad x^{-\frac23}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad x^{\frac23}=2.
Elevando ambos os lados a 3/2,
x=(2)^{\frac32}=\pm2\sqrt{2}.
Esses x são diferentes de zero, portanto válidos.

Resposta

Os resultados são:
a) f'(x)=\dfrac{1}{3}\,x^{-\tfrac23} para x\neq0 (e f'(0) não existe).
b) Os pontos onde a reta tangente tem coeficiente angular 1/6 são
x=2\sqrt{2} \quad\text{e}\quad x=-2\sqrt{2}.

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