Exercício 1.2 Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
(a)
(b)
e
(c)
e
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Estamos em
e precisamos verificar, para cada conjunto dado, se todo ponto dele admite uma bola aberta de
inteiramente contida no conjunto. Lembrando que um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
Passo 2
Conjunto (a):
Seja
. Então
. Defina
Para qualquer
com
vale, pelo triângulo,
Logo
e
. Portanto
é aberto.
Passo 3
Conjunto (b):
Em qualquer ponto do disco unitário
temos
Logo não existe
que satisfaça simultaneamente
e
. Assim
é o conjunto vazio. E o conjunto vazio é aberto por definição.
Passo 4
Conjunto (c):
Escolha um ponto qualquer
. Para qualquer
, a bola
contém pontos cujo primeiro coordenada difere de
(por exemplo
), e esses pontos não pertencem a
. Logo não existe
tal que
portanto
não é aberto.
Resposta
(a) Aberto.
(b) Aberto (é o vazio).
(c) Não é aberto.
(b) Aberto (é o vazio).
(c) Não é aberto.