Exercício 1.2 Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em \mathbb{R}^{2}
(a) \{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\}
(b) \{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1 e x+y>3\}
(c) \{(x, y) \mid x=1 e 1<y<3\}

Passo 1

Estamos em \mathbb{R}^{2} e precisamos verificar, para cada conjunto dado, se todo ponto dele admite uma bola aberta de \mathbb{R}^{2} inteiramente contida no conjunto. Lembrando que um conjunto U\subset\mathbb{R}^{2} é aberto se, para todo p\in U, existe \varepsilon>0 tal que
B(p,\varepsilon)=\{q\in\mathbb{R}^{2}\mid \|q-p\|<\varepsilon\}\subset U.

Passo 2

Conjunto (a):
A=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\}.
Seja (x_{0},y_{0})\in A. Então r_{0}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}<1. Defina
\varepsilon=1 - r_{0} > 0.
Para qualquer (x,y) com \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\varepsilon vale, pelo triângulo,
\sqrt{x^{2}+y^{2}} \le \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\| + \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} < \varepsilon + r_{0} =1.
Logo (x,y)\in A e B\bigl((x_{0},y_{0}),\varepsilon\bigr)\subset A. Portanto A é aberto.

Passo 3

Conjunto (b):
B=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\text{ e }x+y>3\}.
Em qualquer ponto do disco unitário \{x^{2}+y^{2}\le1\} temos
x+y\le \sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le\sqrt{2}<3.
Logo não existe (x,y) que satisfaça simultaneamente x^{2}+y^{2}\le1 e x+y>3. Assim B é o conjunto vazio. E o conjunto vazio é aberto por definição.

Passo 4

Conjunto (c):
C=\{(x,y)\mid x=1\text{ e }1<y<3\}.
Escolha um ponto qualquer (1,y_{0})\in C. Para qualquer \varepsilon>0, a bola B\bigl((1,y_{0}),\varepsilon\bigr) contém pontos cujo primeiro coordenada difere de 1 (por exemplo (1+\tfrac\varepsilon2,y_{0})), e esses pontos não pertencem a C. Logo não existe \varepsilon>0 tal que
B\bigl((1,y_{0}),\varepsilon\bigr)\subset C,
portanto C não é aberto.

Resposta

(a) Aberto.
(b) Aberto (é o vazio).
(c) Não é aberto.

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