Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x \frac{d y}{d x}-4 y=\operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a ordem da equação diferencial ordinária dada. A equação fornecida é
\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + x\,\frac{d y}{d x} - 4y = \operatorname{sen}(x).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Aparecem os termos \frac{d^{3} y}{d x^{3}}, \frac{d y}{d x} e y.
  • O lado direito é \operatorname{sen}(x).
  • A única pergunta é: qual é a ordem dessa EDO?

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (explicação didática):
  • A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior número de derivadas de y em relação a x que aparece na equação.
  • Em outras palavras, se a equação envolve \frac{d^{n}y}{dx^{n}} e não envolve derivadas de ordem maior que n, então a ordem é n.
  • Exemplos simples para fixar a ideia:
    • Se a equação for \frac{dy}{dx}=y, a maior derivada presente é \frac{dy}{dx} (ordem 1).
    • Se for \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0, a maior derivada é \frac{d^{2}y}{dx^{2}} (ordem 2).
    • Se não houver derivadas (apenas y e x), a ordem é 0 (isso é uma equação algébrica).

Passo 3

Identificando as derivadas na equação dada:
  • O primeiro termo é \frac{d^{3} y}{d x^{3}}. Isso é a derivada de terceira ordem de y em relação a x.
  • O segundo termo é x\,\frac{d y}{d x}. Aqui aparece a derivada de primeira ordem \frac{d y}{d x}.
  • O terceiro termo é -4y. Esse é um termo de ordem 0 (nenhuma derivada).
  • O lado direito \operatorname{sen}(x) não contém derivadas de y.

Passo 4

Determinação da ordem:
  • Entre as derivadas presentes ( \frac{d^{3} y}{d x^{3}} de ordem 3, \frac{d y}{d x} de ordem 1), a de maior ordem é a terceira ordem.
  • Pelo conceito do passo 2, a ordem da EDO é portanto 3.

Passo 5

Observações úteis para a prova (dicas práticas e exemplos):
  • Regra prática rápida: ao ver uma EDO, procure o termo com \frac{d^{n}y}{dx^{n}} com maior n; esse n é a ordem.
  • Exemplo de pitfall: se houver uma expressão como \left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^2, a ordem é 2 (a potência não aumenta a ordem, apenas torna não linear).
  • Outra observação: a equação dada é linear (cada termo com y ou suas derivadas aparece multiplicado por função de x ou constante, sem produtos entre derivadas nem potências nãolineares) e é não homogênea porque o lado direito \operatorname{sen}(x) é diferente de zero. Essas classificações não mudam a ordem, mas são informações úteis para resolver depois.

Resposta

A ordem é 3.

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