Exercício 1. Determine a ordem das seguintes EDOs:
\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}=y^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}} = y''
e pede para determinar a ordem dessa EDO.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
  • Aparecem as derivadas \;y'\; e \;y''\;.
  • A equação está escrita de forma implicita envolvendo uma raiz quadrada e potências de derivadas.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO — explicação didática:
  • A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice da derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplos simples para fixar a ideia:
    • \;y' = \sin x\; tem ordem \;1\; (aparece até a primeira derivada).
    • \;y'' + y = 0\; tem ordem \;2\; (aparece a segunda derivada).
    • \;y^{(3)} = x\; tem ordem \;3\;.
      Portanto, para achar a ordem basta identificar qual é a derivada de maior ordem que aparece na expressão dada.

Passo 3

Identificação das derivadas na equação dada — passo a passo:
  • Na equação \sqrt{1+\left(y'\right)^{2}} = y'' há claramente a presença de \;y'\; (primeira derivada) dentro da raiz e de \;y''\; (segunda derivada) no lado direito.
  • Mesmo que \;y'\; apareça elevado ao quadrado e dentro de uma raiz, isso não muda a ordem: continua sendo derivada de ordem 1. O que conta é o índice da derivada, não se ela aparece ao quadrado, dentro de uma função, etc.
  • Para confirmar que não surge nenhuma derivada de ordem maior ao manipular a equação, pode-se, por exemplo, elevar ao quadrado ambos os lados: 1+\left(y'\right)^{2} = \left(y''\right)^{2},que contém \;y' e \;y'' apenas — nenhuma derivada de ordem maior que 2 aparece.

Passo 4

Interpretação final e observação didática:
  • A maior derivada presente é \;y'', que é a derivada de ordem 2.
  • A equação é não linear (por causa da raiz e do quadrado), mas não é isso que define a ordem — ordem é só o maior índice de derivada presente.

Resposta

\text{ordem }2

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