Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções
e
tais que
.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para decidir se ela é separável. Se for separável, identificar funções
e
tais que
Passo 2
O que significa “separável” (explicação didática): uma equação diferencial é separável quando a função do lado direito pode ser escrita como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
. Ou seja, existe
que depende apenas de
e
que depende apenas de
com
Se isso acontecer, a equação fica
e então podemos rearranjar para separar variáveis:
o que permite integrar cada lado independentemente. Essa é a ideia central: RHS deve ser produto de algo só em
por algo só em
.
Passo 3
Vamos testar se existe tal fatoração para
. Suponha, por contradição, que existam funções
e
satisfazendo
Se
para todo
, o produto é 0 e não pode ser igual a
(que nem sempre é 0). Logo
não é identicamente zero; portanto podemos dividir por
(onde for não nulo) e escrever
O lado esquerdo depende apenas de
, então o lado direito, que aparentemente depende de
e
, deve na verdade ser independente de
.
Passo 4
Formalizando a impossibilidade: como
não pode depender de
, a derivada parcial em relação a
do lado direito deve ser zero. Calculemos essa derivada (tratando
como constante):
Para que isso valha para todos
é necessário que o numerador seja zero para todo
:
Essa igualdade deve valer para qualquer
. Olhando para o termo que multiplica
, obtemos
para todo
, ou seja
. Portanto
é constante:
para algum constante
. Substituindo
no numerador original dá
. A condição de que o numerador seja zero passa a exigir
. Mas isso contradiz a conclusão anterior de que
não é identicamente zero. Portanto a suposição inicial (que existem
e
com
para todos
) é falsa.
Passo 5
Um argumento alternativo, mais elementar: suponha que
para todos
. Fixe dois valores
. Para todo
vale
O lado direito é constante em
, então o produto
deve ser constante em
. Se
, isso força
a ser constante, o que ao voltar à igualdade inicial implicaria que o lado direito
fosse função apenas de
— impossível. Logo
para quaisquer
, ou seja
é constante; o mesmo tipo de contradição anterior mostra que essa constante teria de ser zero, o que é impossível. Conclusão: não existe tal fatoração.
Passo 6
Interpretação prática e incentivo: portanto não é possível escrever
como produto de uma função apenas de
por uma função apenas de
. Logo a equação dada NÃO é separável. Isso não é vergonhoso — muitas EDOs importantes não são separáveis; para
o método correto na prova é reconhecer que é uma equação linear de primeira ordem e resolvê‑la por fator integrante, se for pedido resolver. Se quiser, eu te mostro passo a passo como resolver essa equação linear também.
Resposta
Não é separável.