Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções g(x) e h(y) tais que \frac{d y}{d x}=g(x) h(y).
\frac{d y}{d x}=x+y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x+y
e pede para decidir se ela é separável. Se for separável, identificar funções g(x) e h(y) tais que
\frac{d y}{d x}=g(x)\,h(y).

Passo 2

O que significa “separável” (explicação didática): uma equação diferencial é separável quando a função do lado direito pode ser escrita como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y. Ou seja, existe g que depende apenas de x e h que depende apenas de y com
x+y = g(x)\,h(y).
Se isso acontecer, a equação fica
\frac{d y}{d x}=g(x)\,h(y),
e então podemos rearranjar para separar variáveis:
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
o que permite integrar cada lado independentemente. Essa é a ideia central: RHS deve ser produto de algo só em x por algo só em y.

Passo 3

Vamos testar se existe tal fatoração para x+y. Suponha, por contradição, que existam funções g(x) e h(y) satisfazendo
g(x)\,h(y)=x+y\qquad\text{para todos \(x,y\).}
Se g(x)=0 para todo x, o produto é 0 e não pode ser igual a x+y (que nem sempre é 0). Logo g não é identicamente zero; portanto podemos dividir por g(x) (onde for não nulo) e escrever
h(y)=\frac{x+y}{g(x)}.
O lado esquerdo depende apenas de y, então o lado direito, que aparentemente depende de x e y, deve na verdade ser independente de x.

Passo 4

Formalizando a impossibilidade: como h(y) não pode depender de x, a derivada parcial em relação a x do lado direito deve ser zero. Calculemos essa derivada (tratando y como constante):
0=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x+y}{g(x)}\right) =\frac{1\cdot g(x)-(x+y)g'(x)}{g(x)^2}.
Para que isso valha para todos x,y é necessário que o numerador seja zero para todo x,y:
g(x)-(x+y)g'(x)=0\quad\text{para todos \(x,y\).}
Essa igualdade deve valer para qualquer y. Olhando para o termo que multiplica y, obtemos -g'(x)=0 para todo x, ou seja g'(x)=0. Portanto g é constante: g(x)=c para algum constante c. Substituindo g(x)=c no numerador original dá c- (x+y)\cdot 0 = c. A condição de que o numerador seja zero passa a exigir c=0. Mas isso contradiz a conclusão anterior de que g não é identicamente zero. Portanto a suposição inicial (que existem g e h com g(x)h(y)=x+y para todos x,y) é falsa.

Passo 5

Um argumento alternativo, mais elementar: suponha que g(x)h(y)=x+y para todos x,y. Fixe dois valores x_1\neq x_2. Para todo y vale
(g(x_1)-g(x_2))\,h(y)=x_1-x_2.
O lado direito é constante em y, então o produto (g(x_1)-g(x_2))\,h(y) deve ser constante em y. Se g(x_1)\neq g(x_2), isso força h(y) a ser constante, o que ao voltar à igualdade inicial implicaria que o lado direito x+y fosse função apenas de x — impossível. Logo g(x_1)=g(x_2) para quaisquer x_1,x_2, ou seja g é constante; o mesmo tipo de contradição anterior mostra que essa constante teria de ser zero, o que é impossível. Conclusão: não existe tal fatoração.

Passo 6

Interpretação prática e incentivo: portanto não é possível escrever x+y como produto de uma função apenas de x por uma função apenas de y. Logo a equação dada NÃO é separável. Isso não é vergonhoso — muitas EDOs importantes não são separáveis; para \frac{dy}{dx}=x+y o método correto na prova é reconhecer que é uma equação linear de primeira ordem e resolvê‑la por fator integrante, se for pedido resolver. Se quiser, eu te mostro passo a passo como resolver essa equação linear também.

Resposta

Não é separável.

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