Exercício 4 Determine U^{\perp}, sendo U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y-z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar U^{\perp}, onde
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y-z=0\}.
Informações importantes fornecidas:
  • U é o conjunto de vetores (x,y,z) em \mathbb{R}^3 que satisfazem a equação linear x-y-z=0.
  • A tarefa é encontrar todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de U, ou seja, encontrar o subespaço U^{\perp}.

Passo 2

Definição e ideia básica (aula rápida e prática):
  • O produto interno usual em \mathbb{R}^3 (também chamado produto escalar) entre dois vetores u=(x,y,z) e v=(a,b,c) é
u\cdot v = xa + yb + zc.
  • Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto interno entre eles é zero.
  • O complemento ortogonal U^{\perp} é o conjunto de todos os vetores v\in\mathbb{R}^3 tais que v\cdot u = 0 para todo u\in U.

Passo 3

Observação útil sobre equações lineares e normais (truque de prova rápida que cai direto na prova):
  • Quando um subespaço é dado como solução de uma equação linear ax+by+cz=0, o vetor de coeficientes (a,b,c) é um vetor normal ao subespaço, isto é, é ortogonal a todo vetor que satisfaz a equação.
  • Aqui a equação é x-y-z=0. Pegando os coeficientes, obtemos o vetor
n=(1,-1,-1).
  • Verificação direta: se u=(x,y,z)\in U então, usando a equação dada pelo enunciado,
n\cdot u = 1\cdot x + (-1)\cdot y + (-1)\cdot z = x - y - z = 0.
Logo n é ortogonal a todo u\in U, então n\in U^{\perp}.

Passo 4

Argumento de dimensão para concluir que já achamos todo U^{\perp}:
  • A equação x-y-z=0 é uma única restrição linear não degenerada, portanto \dim(U)=2 (é um plano passando pela origem).
  • Em \mathbb{R}^3 vale a relação \dim(U)+\dim(U^{\perp})=3. Assim \dim(U^{\perp})=1.
  • Como já encontramos um vetor não nulo n=(1,-1,-1) que está em U^{\perp}, e U^{\perp} é de dimensão 1, concluímos que U^{\perp} é exatamente a reta gerada por n, isto é, o subespaço gerado por (1,-1,-1).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): parametrizamos U e exigimos ortogonalidade a uma base.
  • Da equação x-y-z=0 segue x=y+z. Tomando parâmetros y=t, z=s obtemos
u = (y+z,y,z) = t(1,1,0)+s(1,0,1).
  • Seja v=(a,b,c)\in U^{\perp}. Então
v\cdot(1,1,0)=a+b=0,\qquad v\cdot(1,0,1)=a+c=0.
  • Essas duas equações dão a=-b e a=-c, portanto b=c e v tem a forma
v = (-b,b,b) = b(-1,1,1),
que é equivalente (multiplicando por -1) a múltiplos de (1,-1,-1). Isso confirma a resposta anterior.

Resposta

U^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1)\}=\{t(1,-1,-1)\mid t\in\mathbb{R}\}

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