Exercício 4 Determine
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
, onde
Informações importantes fornecidas:
-
é o conjunto de vetores em que satisfazem a equação linear . - A tarefa é encontrar todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores de
, ou seja, encontrar o subespaço .
Passo 2
Definição e ideia básica (aula rápida e prática):
- O produto interno usual em
(também chamado produto escalar) entre dois vetores e é
- Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto interno entre eles é zero.
- O complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores tais que para todo .
Passo 3
Observação útil sobre equações lineares e normais (truque de prova rápida que cai direto na prova):
- Quando um subespaço é dado como solução de uma equação linear
, o vetor de coeficientes é um vetor normal ao subespaço, isto é, é ortogonal a todo vetor que satisfaz a equação. - Aqui a equação é
. Pegando os coeficientes, obtemos o vetor
- Verificação direta: se
então, usando a equação dada pelo enunciado,
Logo
é ortogonal a todo
, então
.
Passo 4
Argumento de dimensão para concluir que já achamos todo
:
- A equação
é uma única restrição linear não degenerada, portanto (é um plano passando pela origem). - Em
vale a relação . Assim . - Como já encontramos um vetor não nulo
que está em , e é de dimensão , concluímos que é exatamente a reta gerada por , isto é, o subespaço gerado por .
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): parametrizamos
e exigimos ortogonalidade a uma base.
- Da equação
segue . Tomando parâmetros , obtemos
- Seja
. Então
- Essas duas equações dão
e , portanto e tem a forma
que é equivalente (multiplicando por
) a múltiplos de
. Isso confirma a resposta anterior.