- Encontre o plano tangente à superfície
no ponto
. (Dica: Reescreva como
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto
. Foi sugerido reescrever como
Informações importantes que temos:
- A equação implícita
com . - O ponto onde queremos o plano tangente:
.
A tarefa: encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de forma simples): se temos uma superfície dada implicitamente por
, então o vetor gradiente de
,
é um vetor normal à superfície em cada ponto. O plano tangente no ponto
tem então a equação (produto escalar com o vetor normal igual a zero):
Vou aplicar essa fórmula: preciso calcular as derivadas parciais de
e avaliá‑las em
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou fazer com calma usando a regra da cadeia:
- Seja
. Então . A derivada de em relação a é . - Calcule
. - Portanto
- Para
: . Assim
- Para
: , então
Resumo das derivadas parciais:
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
. Primeiro calcule
no ponto:
Substituindo:
Logo o gradiente no ponto é
que é um vetor normal ao plano tangente naquele ponto.
Passo 5
Escrever a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo o gradiente:
Passo 6
Expandir e simplificar a equação do plano:
Primeiro expandindo:
Primeiro expandindo:
Os termos constantes
e
se cancelam, sobrando:
Isolando
para a forma explícita (útil na prova):
Observação rápida e reconfortante: também poderia usar diretamente a forma para gráficos
,
com
; isso dá exatamente o mesmo resultado.
Passo 7
Cheque final (verificação): substituir o ponto
na equação
:
confere com
. O vetor normal do plano
coincide com
, então tudo está consistente. Você conseguiu — a conta fechou!