1. Encontre o plano tangente à superfície z=e^{x^{2}-y^{2}} no ponto (1,1,1). (Dica: Reescreva como \left.F(x, y, z)=e^{x^{2}-y^{2}}-z=0\right).

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=e^{x^{2}-y^{2}} e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,1). Foi sugerido reescrever como
F(x,y,z)=e^{x^{2}-y^{2}}-z=0.
Informações importantes que temos:
  • A equação implícita F(x,y,z)=0 com F(x,y,z)=e^{x^{2}-y^{2}}-z.
  • O ponto onde queremos o plano tangente: (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,1).
    A tarefa: encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de forma simples): se temos uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, então o vetor gradiente de F,
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right),
é um vetor normal à superfície em cada ponto. O plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) tem então a equação (produto escalar com o vetor normal igual a zero):
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Vou aplicar essa fórmula: preciso calcular as derivadas parciais de F e avaliá‑las em (1,1,1).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F(x,y,z)=e^{x^{2}-y^{2}}-z. Vou fazer com calma usando a regra da cadeia:
  • Seja u(x,y)=x^{2}-y^{2}. Então e^{x^{2}-y^{2}}=e^{u}. A derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot u_x.
  • Calcule u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x.
  • Portanto
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}(z)=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x - 0 = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}}.
  • Para y: u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y. Assim
\frac{\partial F}{\partial y}=e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y) = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
  • Para z: \dfrac{\partial}{\partial z}(-z)=-1, então
\frac{\partial F}{\partial z}=-1.
Resumo das derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-2y\,e^{x^{2}-y^{2}},\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-1.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (1,1,1). Primeiro calcule e^{x^{2}-y^{2}} no ponto:
e^{1^{2}-1^{2}}=e^{0}=1.
Substituindo:
\frac{\partial F}{\partial x}(1,1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2,
\frac{\partial F}{\partial y}(1,1,1)=-2\cdot 1\cdot 1=-2,
\frac{\partial F}{\partial z}(1,1,1)=-1.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla F(1,1,1)=(2,\,-2,\,-1),
que é um vetor normal ao plano tangente naquele ponto.

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
\nabla F(1,1,1)\cdot\bigl(x-1,\,y-1,\,z-1\bigr)=0.
Substituindo o gradiente:
2(x-1) -2(y-1) -1(z-1)=0.

Passo 6

Expandir e simplificar a equação do plano:
Primeiro expandindo:
2x-2 -2y+2 -z+1 = 0.
Os termos constantes -2 e +2 se cancelam, sobrando:
2x -2y - z +1 = 0.
Isolando z para a forma explícita (útil na prova):
z = 2x - 2y + 1.
Observação rápida e reconfortante: também poderia usar diretamente a forma para gráficos z=f(x,y),
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}),
com f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}; isso dá exatamente o mesmo resultado.

Passo 7

Cheque final (verificação): substituir o ponto (1,1,1) na equação z=2x-2y+1:
z=2\cdot 1 -2\cdot 1 +1 = 2-2+1=1,
confere com z_{0}=1. O vetor normal do plano (2,-2,-1) coincide com \nabla F(1,1,1), então tudo está consistente. Você conseguiu — a conta fechou!

Resposta

z=2x-2y+1

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