Exercício 8: Determine o valor das integrais
integral0^+infty t^2 e^-3 t cos (2 t) u(t) d t

Passo 1

O enunciado pede
integral0^+infty t^2e^-3tcos(2t),u(t),dt,
mas como u(t) vale 1 para t>=0, é simplesmente
integral0^inftyt^2e^-3tcos(2t),dt
Isso é exatamente a transformada de Laplace de t^2cos(2t) avaliada em s=3. Vamos usar a propriedade
Lt^n f(t)(s)=(-1)^nd^nds^nl[F(s)r]
onde F(s)=Lf(t)(s).

Passo 2

Primeiro, lembremos que
F(s)=integral0^inftye^-stcos(2t),dt=ss^2+2^2=ss^2+4

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=2,
integral0^inftyt^2e^-stcos(2t),dt =d^2ds^2!l[ss^2+4r]
Vamos calcular I(s)=ss^2+4:
I'(s) =(s^2+4)cdot1 - scdot2s(s^2+4)^2 =4 - s^2(s^2+4)^2,
I''(s) =dds!l[4 - s^2(s^2+4)^2r] =2s,(s^2-3cdot4)(s^2+4)^3 =2s,(s^2-12)(s^2+4)^3

Passo 4

Portanto
integral0^inftyt^2e^-stcos(2t),dt =I''(s) =2s,(s^2-12)(s^2+4)^3

Passo 5

Finalmente, basta pôr s=3:
s^2=9, s^2-12=-3, s^2+4=13
integral0^inftyt^2e^-3tcos(2t),dt =2cdot3cdot(-3)13^3 =-182197

Resposta

-182197

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