Exercício 3 Determine c, L in R que satisfazem as seguintes equações.
lim x 1 x^2+c x+1x-1=L

Passo 1

Então, a gente tem um limite que envolve uma fração e precisa descobrir os valores de $ c $ e $ L $ que fazem esse limite existir. A matéria aqui é cálculo, especificamente os limites. Vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar a regra de limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando $ x $ se aproxima de 1 na expressão x . Se a gente simplesmente substituir $ x = 1 $, o denominador vira zero, o que dá uma indeterminação. Isso significa que o numerador também precisa ser zero quando $ x = 1 $ para que o limite exista.

Passo 3

Vamos garantir que o numerador seja zero em $ x = 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na expressão do numerador:
x = 1
Isso simplifica para:
x = 1

Passo 4

Agora que encontramos $ c = -2 $, vamos substituir de volta na expressão original:
c = -2
A gente consegue fatorar o numerador:
x^2 - 2x + 1x - 1
Então a expressão fica:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2

Passo 5

Simplificando a fração, cancelamos um $ (x - 1) $:
(x - 1)
Agora, o limite fica bem mais simples:
(x - 1)^2x - 1 = x - 1

Passo 6

Calculando o limite:
limx to 1 (x - 1) = 1 - 1 = 0
Portanto, $ L = 0 $.

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são $ c = -2 $ e $ L = 0 $.

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