Exercício 1.3 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
dada por
Informações relevantes que temos:
- A função depende apenas de
; não há aparecendo na expressão. - As derivadas parciais de segunda ordem que precisamos encontrar são:
Passo 2
Definição e ideia para
. A derivada parcial de
em relação a
em um ponto
é, por definição,
ou, de forma prática na hora da conta: ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Aqui
é uma composição
com
. Usando a regra da cadeia: se
então
, e se
então
. Portanto
Também podemos usar a identidade trigonométrica
para escrever
Passo 3
Derivada parcial em relação a
. Como a função
não depende de
(para qualquer
o valor não muda quando variamos
), a derivada parcial em relação a
é zero:
Uma forma formal é aplicar a definição da derivada parcial em
: o quociente de diferença dá sempre zero porque
para todo
.
Passo 4
Agora vamos à segunda derivada mista
. Tomamos a derivada em
da expressão que encontramos para
. Como
, usamos a regra de derivação para
e a regra da cadeia: a derivada de
é
. Assim
Se quiser ver por outra abordagem, derive
usando a regra do produto:
o mesmo resultado (usei a identidade
).
Passo 5
Cálculo das derivadas mistas
e
.
- Para
primeiro derivamos em (obtivemos ) e depois em . Como não depende de , a derivada em é zero:
- Para
primeiro derivamos em (obtivemos ) e depois em . A derivada de em relação a é :
Observação: aqui aparece a simetria
(as duas são
), que é coerente com o teorema de Clairaut quando as segundas derivadas são contínuas — no nosso caso tudo é suave.
Passo 6
Cálculo de
. Como
, derivando novamente em
obtemos