Exercício 1.3 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=\sin ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f dada por
f(x,y)=\sin^{2}(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função depende apenas de x; não há y aparecendo na expressão.
  • As derivadas parciais de segunda ordem que precisamos encontrar são:
    \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\; \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\; \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x},\; \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Definição e ideia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. A derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
ou, de forma prática na hora da conta: ao derivar em relação a x tratamos y como constante. Aqui f(x,y)=(\sin x)^{2} é uma composição g(u)=u^{2} com u=\sin x. Usando a regra da cadeia: se g(u)=u^{2} então g'(u)=2u, e se u(x)=\sin x então u'(x)=\cos x. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2\sin x\cdot\cos x.
Também podemos usar a identidade trigonométrica \sin(2x)=2\sin x\cos x para escrever
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sin(2x).

Passo 3

Derivada parcial em relação a y. Como a função f(x,y)=\sin^{2}(x) não depende de y (para qualquer x o valor não muda quando variamos y), a derivada parcial em relação a y é zero:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.
Uma forma formal é aplicar a definição da derivada parcial em y: o quociente de diferença dá sempre zero porque f(x,y+h)-f(x,y)=0 para todo h.

Passo 4

Agora vamos à segunda derivada mista \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}. Tomamos a derivada em x da expressão que encontramos para \frac{\partial f}{\partial x}. Como \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sin(2x), usamos a regra de derivação para \sin e a regra da cadeia: a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x). Assim
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=2\cos(2x).
Se quiser ver por outra abordagem, derive 2\sin x\cos x usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(2\sin x\cos x\big)=2\big(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\big)=2(\cos^{2}x-\sin^{2}x)=2\cos(2x),
o mesmo resultado (usei a identidade \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x).

Passo 5

Cálculo das derivadas mistas \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} e \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.
  • Para \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} primeiro derivamos em x (obtivemos \sin(2x)) e depois em y. Como \sin(2x) não depende de y, a derivada em y é zero:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=0.
  • Para \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} primeiro derivamos em y (obtivemos 0) e depois em x. A derivada de 0 em relação a x é 0:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=0.
Observação: aqui aparece a simetria \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} (as duas são 0), que é coerente com o teorema de Clairaut quando as segundas derivadas são contínuas — no nosso caso tudo é suave.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}. Como \frac{\partial f}{\partial y}=0, derivando novamente em y obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2\cos(2x)\n \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0\n \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=0\n \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0

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