Exercício 1.3 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
As quantidades que precisamos encontrar são:
Informações dadas: a função é um polinômio em
e
, logo todas as derivadas parciais existem e são contínuas em todo
.
Passo 2
Breve revisão didática das regras que vamos usar:
- Derivada parcial em relação a
: trata-se como constante e diferencia em . Analogamente para derivada parcial em relação a . - Regra do poder (para uma função em uma variável): se
então . - Regra do produto (quando aparece produto de funções de
e ): . Nas derivadas parciais aplicamos essa regra tratando a outra variável como constante. - Para polinômios as derivadas parciais de todas as ordens existem e a ordem das diferenciações mistas pode ser trocada (teorema de Clairaut), ou seja,
.
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar de novo para obter as de segunda ordem.
Passo 3
Calcular
. Diferenciamos termo a termo, tratando
como constante.
Para o termo
:
é constante, então a derivada em
é
pela regra do poder multiplicada por
.
Para o termo
:
é constante, então a derivada em
é
.
Logo,
Passo 4
Calcular
. Agora diferenciamos em relação a
, tratando
como constante.
Para o termo
:
é constante, derivada em
é
.
Para o termo
: derivada em
é
(pois é
).
Logo,
Passo 5
Calcular
. Derivamos
em relação a
, tratando
como constante.
Derivada de
em
:
.
Derivada de
em
:
.
Portanto,
Passo 6
Calcular
. Derivamos
em relação a
, tratando
como constante.
Derivada de
em
:
.
Derivada de
em
: zero (é constante em
).
Logo,
Passo 7
Calcular as derivadas mistas
e
, e verificar que são iguais.
Primeiro
. Usamos
.
Derivando em
:
- de
: , - de
: .
Logo,
Agora
. Usamos
.
Derivando em
:
- de
: , - de
: .
Portanto,
Como esperado (função polinomial, derivadas contínuas), as mistas coincidem: