Exercício 1.3 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y)=x^{3} y^{5}-2 x^{4} y

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x^{3}y^{5}-2x^{4}y.
As quantidades que precisamos encontrar são:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
Informações dadas: a função é um polinômio em x e y, logo todas as derivadas parciais existem e são contínuas em todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Breve revisão didática das regras que vamos usar:
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se y como constante e diferencia em x. Analogamente para derivada parcial em relação a y.
  • Regra do poder (para uma função em uma variável): se g(t)=t^{n} então g'(t)=n t^{n-1}.
  • Regra do produto (quando aparece produto de funções de x e y): (uv)'=u'v+uv'. Nas derivadas parciais aplicamos essa regra tratando a outra variável como constante.
  • Para polinômios as derivadas parciais de todas as ordens existem e a ordem das diferenciações mistas pode ser trocada (teorema de Clairaut), ou seja, \partial_{xy}f=\partial_{yx}f.
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar de novo para obter as de segunda ordem.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Diferenciamos termo a termo, tratando y como constante.
Para o termo x^{3}y^{5}: y^{5} é constante, então a derivada em x é 3x^{2}y^{5} pela regra do poder multiplicada por y^{5}.
Para o termo -2x^{4}y: y é constante, então a derivada em x é -2\cdot 4x^{3}y=-8x^{3}y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}-8x^{3}y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Agora diferenciamos em relação a y, tratando x como constante.
Para o termo x^{3}y^{5}: x^{3} é constante, derivada em y é x^{3}\cdot 5y^{4}=5x^{3}y^{4}.
Para o termo -2x^{4}y: derivada em y é -2x^{4} (pois é -2x^{4}\cdot 1).
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}-2x^{4}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}-8x^{3}y em relação a x, tratando y como constante.
Derivada de 3x^{2}y^{5} em x: 3\cdot 2x y^{5}=6x y^{5}.
Derivada de -8x^{3}y em x: -8\cdot 3x^{2}y=-24x^{2}y.
Portanto,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{5}-24x^{2}y.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}. Derivamos \dfrac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}-2x^{4} em relação a y, tratando x como constante.
Derivada de 5x^{3}y^{4} em y: 5x^{3}\cdot 4y^{3}=20x^{3}y^{3}.
Derivada de -2x^{4} em y: zero (é constante em y).
Logo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=20x^{3}y^{3}.

Passo 7

Calcular as derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, e verificar que são iguais.
Primeiro \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right). Usamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{5}-8x^{3}y.
Derivando em y:
  • de 3x^{2}y^{5}: 3x^{2}\cdot 5y^{4}=15x^{2}y^{4},
  • de -8x^{3}y: -8x^{3}\cdot 1=-8x^{3}.
Logo,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}-8x^{3}.
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Usamos \dfrac{\partial f}{\partial y}=5x^{3}y^{4}-2x^{4}.
Derivando em x:
  • de 5x^{3}y^{4}: 5\cdot 3x^{2}y^{4}=15x^{2}y^{4},
  • de -2x^{4}: -2\cdot 4x^{3}=-8x^{3}.
Portanto,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=15x^{2}y^{4}-8x^{3}.
Como esperado (função polinomial, derivadas contínuas), as mistas coincidem:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}-8x^{3}.

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6x y^{5}-24x^{2}y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=15x^{2}y^{4}-8x^{3}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=15x^{2}y^{4}-8x^{3}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=20x^{3}y^{3}

Exercícios relacionados