Exercício 1.1 Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y, z)=x^{2} \cdot \sin ^{2}(y z).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
f(x,y,z)=x^{2}\cdot\sin^{2}(y z).
As perguntas explícitas que devemos responder são:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
As informações dadas que usaremos são exatamente os termos da função \displaystyle f(x,y,z) acima: há um fator x^{2} multiplicando \sin^{2}(y z).

Passo 2

Vou lembrar o que significa derivada parcial de forma bem direta e prática: a derivada parcial de \displaystyle f em relação a uma variável (por exemplo x) é a taxa de variação de \displaystyle f quando só a variável x varia e as outras (y,z) são tratadas como constantes. Formalmente, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Mas na prática, para calcular usamos regras de derivação conhecidas (regra do produto, regra da cadeia) tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 3

As regras que vamos usar (explicando cada uma):
  • Regra do produto: se \displaystyle g(x)=u(x)\cdot v(x), então \displaystyle g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui aplicamos essa ideia em derivada parcial quando um fator depende da variável que estamos derivando e o outro é tratado como constante.
  • Regra da cadeia: se \displaystyle h(t)=\varphi(\psi(t)), então \displaystyle h'(t)=\varphi'(\psi(t))\cdot\psi'(t). No nosso caso aparece \sin^{2}(\cdot), que é composição de \varphi(s)=s^{2} com \psi(u)=\sin(u) ou, mais direto, vista como (\sin(u))^{2}.
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada derivada parcial.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Texto: ao derivar em relação a x tratamos \sin^{2}(y z) como constante, porque depende só de y e z.
Fórmula e contas:
f(x,y,z)=x^{2}\cdot\sin^{2}(y z).
Como \sin^{2}(y z) é constante em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)\cdot\sin^{2}(y z).
Derivada de \displaystyle x^{2} em relação a x é \displaystyle 2x. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot\sin^{2}(y z).

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Texto: ao derivar em relação a y tratamos x^{2} como constante. Precisamos derivar \sin^{2}(y z) em relação a y. Aqui aplicamos a regra da cadeia: se temos \big(\sin(u)\big)^{2} com u=y z, então derivada é 2\sin(u)\cdot\cos(u)\cdot u', e u'=\dfrac{d}{dy}(y z)=z (porque z é constante em relação a y).
Fórmulas e contas passo a passo:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(\sin^{2}(y z)\big).
Aplicando a cadeia com u(y)=y z:
\frac{d}{dy}\big(\sin^{2}(y z)\big)=2\sin(y z)\cdot\cos(y z)\cdot\frac{d}{dy}(y z).
E \dfrac{d}{dy}(y z)=z. Assim
\frac{d}{dy}\big(\sin^{2}(y z)\big)=2\sin(y z)\cos(y z)\cdot z.
Multiplicando pelo fator x^{2} obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cdot 2\sin(y z)\cos(y z)\cdot z.
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica da dupla distância 2\sin t\cos t=\sin(2t). Com t=y z isso vira
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\,z\,\sin(2y z).

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Texto: muito semelhante ao caso de y. Agora x^{2} é constante e derivamos \sin^{2}(y z) em relação a z. Novamente usamos cadeia: u(z)=y z tem derivada u'=\dfrac{d}{dz}(y z)=y.
Fórmulas e contas:
\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}\cdot\frac{d}{dz}\big(\sin^{2}(y z)\big).
Pela cadeia:
\frac{d}{dz}\big(\sin^{2}(y z)\big)=2\sin(y z)\cos(y z)\cdot\frac{d}{dz}(y z).
E \dfrac{d}{dz}(y z)=y. Assim
\frac{d}{dz}\big(\sin^{2}(y z)\big)=2\sin(y z)\cos(y z)\cdot y.
Multiplicando por x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}\cdot 2\sin(y z)\cos(y z)\cdot y.
Usando a identidade 2\sin t\cos t=\sin(2t) com t=y z, temos
\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}\,y\,\sin(2y z).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin^{2}(y z)
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}z\sin(y z)\cos(y z)=x^{2}z\sin(2y z)
\frac{\partial f}{\partial z}=2x^{2}y\sin(y z)\cos(y z)=x^{2}y\sin(2y z)

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