Exercício 1.1 Usando as regras de derivação, encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
As perguntas explícitas que devemos responder são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
As informações dadas que usaremos são exatamente os termos da função
acima: há um fator
multiplicando
.
Passo 2
Vou lembrar o que significa derivada parcial de forma bem direta e prática: a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) é a taxa de variação de
quando só a variável
varia e as outras
são tratadas como constantes. Formalmente, por definição,
Mas na prática, para calcular usamos regras de derivação conhecidas (regra do produto, regra da cadeia) tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 3
As regras que vamos usar (explicando cada uma):
- Regra do produto: se
, então . Aqui aplicamos essa ideia em derivada parcial quando um fator depende da variável que estamos derivando e o outro é tratado como constante. - Regra da cadeia: se
, então . No nosso caso aparece , que é composição de com ou, mais direto, vista como .
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada derivada parcial.
Passo 4
Cálculo de
.
Texto: ao derivar em relação a
tratamos
como constante, porque depende só de
e
.
Fórmula e contas:
Como
é constante em relação a
,
Derivada de
em relação a
é
. Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Texto: ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Precisamos derivar
em relação a
. Aqui aplicamos a regra da cadeia: se temos
com
, então derivada é
, e
(porque
é constante em relação a
).
Fórmulas e contas passo a passo:
Aplicando a cadeia com
:
E
. Assim
Multiplicando pelo fator
obtemos
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica da dupla distância
. Com
isso vira
Passo 6
Cálculo de
.
Texto: muito semelhante ao caso de
. Agora
é constante e derivamos
em relação a
. Novamente usamos cadeia:
tem derivada
.
Fórmulas e contas:
Pela cadeia:
E
. Assim
Multiplicando por
:
Usando a identidade
com
, temos