Exercício 9 Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja imagem é gerada por ( 2,1,0 ) e (1, -1, 2).
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear \;T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
cuja imagem seja \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(2,1,0),\;(1,-1,2)\}.
O conteúdo envolvido é: definição de transformação linear por imagens de uma base e identificação da imagem como espaço gerado pelas colunas da matriz.
Passo 2
Para garantir que \mathrm{Im}\,T
seja exatamente o span dos dois vetores dados, basta definir as imagens dos vetores da base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}
de modo que duas colunas da matriz de T sejam esses vetores e a terceira seja zero.
Escolhemos então