Exercício 9 Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja imagem é gerada por ( 2,1,0 ) e (1, -1, 2).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\;T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
cuja imagem seja
\mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(2,1,0),\;(1,-1,2)\}.
O conteúdo envolvido é: definição de transformação linear por imagens de uma base e identificação da imagem como espaço gerado pelas colunas da matriz.

Passo 2

Para garantir que
\mathrm{Im}\,T
seja exatamente o span dos dois vetores dados, basta definir as imagens dos vetores da base canônica
\{e_{1},e_{2},e_{3}\}
de modo que duas colunas da matriz de T sejam esses vetores e a terceira seja zero.
Escolhemos então
T(e_{1}) = (2,1,0), \quad T(e_{2}) = (1,-1,2), \quad T(e_{3}) = (0,0,0).

Passo 3

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix},
cuja j-ésima coluna é T(e_{j}). Logo, para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},
T(x,y,z) = x\,T(e_{1}) + y\,T(e_{2}) + z\,T(e_{3}) = \bigl(2x+y,\;x - y,\;2y\bigr).

Resposta

A transformação
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \qquad T(x,y,z) = (2x+y,\;x - y,\;2y)
satisfaz \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(2,1,0),(1,-1,2)\}.

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