Exercício 5 Para cada transformação linear T a seguir, determine \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões de \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T).
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, T(x, y, z)=x+y-z;

Passo 1

O enunciado pede para achar \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T) e as dimensões de cada um, onde T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é dada por
T(x,y,z)=x+y-z.
Vamos usar resolução de sistemas lineares para a parte do núcleo e verificar a sobrejetividade para o espaço imagem.

Passo 2

Para achar \operatorname{Ker}(T) resolvemos
T(x,y,z)=0\quad\Longrightarrow\quad x+y-z=0.
Daí segue z=x+y, logo
\operatorname{Ker}(T)=\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Escrevendo em forma de combinação linear,
\operatorname{Ker}(T)=\text{span}\{(1,0,1),\,(0,1,1)\}.

Passo 3

Como \operatorname{Ker}(T) é gerado por dois vetores linearmente independentes, concluímos
\dim\bigl(\operatorname{Ker}(T)\bigr)=2.

Passo 4

Para \operatorname{Im}(T) basta ver que, dado qualquer w\in\mathbb{R}, podemos tomar (x,y,z)=(w,0,0) e obter
T(w,0,0)=w.
Isso mostra que todo real aparece como imagem, portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}.

Passo 5

Como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R} é um espaço unidimensional, temos
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=1.

Resposta

\operatorname{Ker}(T)=\{(x,y,x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\},
\dim(\operatorname{Ker}(T))=2.
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R},
\dim(\operatorname{Im}(T))=1.

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