Exercício 5 Para cada transformação linear
a seguir, determine
e as dimensões de
e
.
;
Passo 1
O enunciado pede para achar
,
e as dimensões de cada um, onde
é dada por
Vamos usar resolução de sistemas lineares para a parte do núcleo e verificar a sobrejetividade para o espaço imagem.
Passo 2
Para achar
resolvemos
Daí segue
, logo
Escrevendo em forma de combinação linear,
Passo 3
Como
é gerado por dois vetores linearmente independentes, concluímos
Passo 4
Para
basta ver que, dado qualquer
, podemos tomar
e obter
Isso mostra que todo real aparece como imagem, portanto
Passo 5
Como
é um espaço unidimensional, temos