Exercício 5: Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
X(j \omega)=\omega G_{1}(\omega-0.5)+(2-\omega) G_{2}(\omega-2)+(\omega-4) G_{1}(\omega-3.5)

Passo 1

O enunciado pede: determinar x(t) cuja transformada de Fourier é
X(j\omega)=\omega\,G_{1}(\omega-0.5)+(2-\omega)\,G_{2}(\omega-2)+(\omega-4)\,G_{1}(\omega-3.5).
Informações relevantes fornecidas (assumidas como padrão neste tipo de exercício):
  • G_{1}(\omega) e G_{2}(\omega) são as transformadas de Fourier de duas funções tempo-domínio g_{1}(t) e g_{2}(t), respectivamente. Em outras palavras,
G_{1}(\omega)=\mathcal{F}\{g_{1}(t)\},\qquad G_{2}(\omega)=\mathcal{F}\{g_{2}(t)\}.
  • A tarefa é obter x(t)=\mathcal{F}^{-1}\{X(j\omega)\} expressa em termos de g_{1}(t), g_{2}(t) e suas derivadas e exponenciais quando necessário.

Passo 2

Vou usar duas propriedades fundamentais da transformada de Fourier (vou explicar cada uma para ficar bem didático):
Propriedade A — deslocamento em frequência (modulação em tempo):
\text{Se }G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\}\text{ então }G(\omega-\omega_{0})=\mathcal{F}\{g(t)e^{j\omega_{0}t}\}.ã
Explicação rápida: substituir \omega por \omega-\omega_{0} na transformada equivale a multiplicar g(t) por e^{j\omega_{0}t} no tempo (isso vem de trocar variável na integral da FT).
Propriedade B — diferenciação no tempo ⇄ multiplicação por j\omega na frequência:
\mathcal{F}\{g'(t)\}=j\omega\,G(\omega).
Reescrevendo: se conheço G(\omega), então \omega\,G(\omega) corresponde no tempo a \frac{1}{j}g'(t)=-j\,g'(t). Ou seja,
\omega\,G(\omega)\\ \longleftrightarrow\\\ -j\,g'(t).
Explicação: derivando g(t) e calculando sua FT dá um fator j\omega na frequência; invertendo a relação temos a correspondência acima.
Vou combinar essas duas propriedades para lidar com termos do tipo \omega G(\omega-\omega_{0}) e com constantes somadas/subtraídas.

Passo 3

Trabalhando o primeiro termo \omega\,G_{1}(\omega-0.5).
Defina Y_{1}(\omega)=G_{1}(\omega-0.5). Pela propriedade A, o sinal no tempo correspondente é
y_{1}(t)=g_{1}(t)e^{j0.5t}.
Agora use a propriedade B: \omega Y_{1}(\omega) corresponde a -j\,y_{1}'(t). Logo
\omega\,G_{1}(\omega-0.5)\\ \longleftrightarrow\\\ -j\frac{d}{dt}\bigl(g_{1}(t)e^{j0.5t}\bigr).
(Fazemos também uma decomposição alternativa mental \omega=(\omega-0.5)+0.5 para checar cancelamentos se quisermos, mas o resultado direto acima é suficiente.)

Passo 4

Trabalhando o segundo termo (2-\omega)\,G_{2}(\omega-2).
Defina Y_{2}(\omega)=G_{2}(\omega-2). Pelo deslocamento, seu contra-parte no tempo é
y_{2}(t)=g_{2}(t)e^{j2t}.
Agora escreva (2-\omega)Y_{2}(\omega)=2Y_{2}(\omega)-\omega Y_{2}(\omega).
  • 2Y_{2}(\omega) corresponde a 2y_{2}(t)=2g_{2}(t)e^{j2t}.
  • \omega Y_{2}(\omega) corresponde a -j\,y_{2}'(t) (propriedade B).
    Portanto
(2-\omega)\,G_{2}(\omega-2)\\ \longleftrightarrow\\\ 2g_{2}(t)e^{j2t}+j\frac{d}{dt}\bigl(g_{2}(t)e^{j2t}\bigr).

Passo 5

Trabalhando o terceiro termo (\omega-4)\,G_{1}(\omega-3.5).
Defina Y_{3}(\omega)=G_{1}(\omega-3.5). Pelo deslocamento, o tempo é
y_{3}(t)=g_{1}(t)e^{j3.5t}.
Escrevendo diretamente: (\omega-4)Y_{3}(\omega)=\omega Y_{3}(\omega)-4Y_{3}(\omega).
  • \omega Y_{3}(\omega) corresponde a -j\,y_{3}'(t).
  • 4Y_{3}(\omega) corresponde a 4y_{3}(t)=4g_{1}(t)e^{j3.5t}.
    Logo
(\omega-4)\,G_{1}(\omega-3.5)\\ \longleftrightarrow\\\ -j\frac{d}{dt}\bigl(g_{1}(t)e^{j3.5t}\bigr)-4g_{1}(t)e^{j3.5t}.

Passo 6

Agora vamos expandir as derivadas (usar regra do produto) para escrever tudo em termos de g_{1}(t), g_{1}'(t), g_{2}(t), g_{2}'(t) e exponenciais — isso é útil na prova para ficar explícito e sem incógnitas.
Calcule cada derivada:
Para y_{1}(t)=g_{1}(t)e^{j0.5t},
\frac{d}{dt}y_{1}(t)=g_{1}'(t)e^{j0.5t}+j0.5\,g_{1}(t)e^{j0.5t}.
Multiplicando por -j:
-j\frac{d}{dt}y_{1}(t)=-j g_{1}'(t)e^{j0.5t}+0{,}5\,g_{1}(t)e^{j0.5t}.
Para y_{2}(t)=g_{2}(t)e^{j2t},
\frac{d}{dt}y_{2}(t)=g_{2}'(t)e^{j2t}+j2\,g_{2}(t)e^{j2t}.
Multiplicando por j (veja do passo 4 apareceu +j\,\frac{d}{dt}y_{2}):
j\frac{d}{dt}y_{2}(t)=j g_{2}'(t)e^{j2t}-2\,g_{2}(t)e^{j2t}.
Somando com 2g_{2}(t)e^{j2t} (do termo 2y_{2}) cancela 2g_{2}(\cdot):
2g_{2}(t)e^{j2t}+j\frac{d}{dt}y_{2}(t)=j g_{2}'(t)e^{j2t}.
Então o segundo termo se reduz elegantemente a j g_{2}'(t)e^{j2t}.
Para y_{3}(t)=g_{1}(t)e^{j3.5t},
\frac{d}{dt}y_{3}(t)=g_{1}'(t)e^{j3.5t}+j3{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}.
Multiplicando por -j e subtraindo 4g_{1}e^{j3.5t} (como em passo 5):
-j\frac{d}{dt}y_{3}(t)-4g_{1}e^{j3.5t}=-j g_{1}'(t)e^{j3.5t}+3{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}-4g_{1}(t)e^{j3.5t},
que simplifica para
-j g_{1}'(t)e^{j3.5t}-0{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}.

Passo 7

Juntando os resultados dos passos anteriores termo a termo, obtemos x(t) como soma das partes correspondentes:
  • Primeiro termo (do passo 3):
-j g_{1}'(t)e^{j0.5t}+0{,}5\,g_{1}(t)e^{j0.5t}.
  • Segundo termo (do passo 6):
j g_{2}'(t)e^{j2t}.
  • Terceiro termo (do passo 6):
- j g_{1}'(t)e^{j3.5t}-0{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}.
Somando tudo:
x(t) = -j g_{1}'(t)e^{j0.5t}+0{,}5\,g_{1}(t)e^{j0.5t}+j g_{2}'(t)e^{j2t}-j g_{1}'(t)e^{j3.5t}-0{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}.
Podemos reescrever para ficar mais compacto (agrupando termos semelhantes):
x(t)=-j\bigl[g_{1}'(t)e^{j0.5t}+g_{1}'(t)e^{j3.5t}\bigr]+0{,}5\bigl[g_{1}(t)e^{j0.5t}-g_{1}(t)e^{j3.5t}\bigr]+j g_{2}'(t)e^{j2t}.

Resposta

x(t)=-j g_{1}'(t)e^{j0.5t}+0{,}5\,g_{1}(t)e^{j0.5t}+j g_{2}'(t)e^{j2t}-j g_{1}'(t)e^{j3.5t}-0{,}5\,g_{1}(t)e^{j3.5t}.

Exercícios relacionados