Exercício 5: Determine
cujas transformadas de Fourier são dadas por
Passo 1
O enunciado pede: determinar
cuja transformada de Fourier é
Informações relevantes fornecidas (assumidas como padrão neste tipo de exercício):
-
e são as transformadas de Fourier de duas funções tempo-domínio e , respectivamente. Em outras palavras,
- A tarefa é obter
expressa em termos de , e suas derivadas e exponenciais quando necessário.
Passo 2
Vou usar duas propriedades fundamentais da transformada de Fourier (vou explicar cada uma para ficar bem didático):
Propriedade A — deslocamento em frequência (modulação em tempo):
Explicação rápida: substituir
por
na transformada equivale a multiplicar
por
no tempo (isso vem de trocar variável na integral da FT).
Propriedade B — diferenciação no tempo ⇄ multiplicação por
na frequência:
Reescrevendo: se conheço
, então
corresponde no tempo a
. Ou seja,
Explicação: derivando
e calculando sua FT dá um fator
na frequência; invertendo a relação temos a correspondência acima.
Vou combinar essas duas propriedades para lidar com termos do tipo
e com constantes somadas/subtraídas.
Passo 3
Trabalhando o primeiro termo
.
Defina
. Pela propriedade A, o sinal no tempo correspondente é
Agora use a propriedade B:
corresponde a
. Logo
(Fazemos também uma decomposição alternativa mental
para checar cancelamentos se quisermos, mas o resultado direto acima é suficiente.)
Passo 4
Trabalhando o segundo termo
.
Defina
. Pelo deslocamento, seu contra-parte no tempo é
Agora escreva
.
-
corresponde a . -
corresponde a (propriedade B).
Portanto
Passo 5
Trabalhando o terceiro termo
.
Defina
. Pelo deslocamento, o tempo é
Escrevendo diretamente:
.
-
corresponde a . -
corresponde a .
Logo
Passo 6
Agora vamos expandir as derivadas (usar regra do produto) para escrever tudo em termos de
,
,
,
e exponenciais — isso é útil na prova para ficar explícito e sem incógnitas.
Calcule cada derivada:
Para
,
Multiplicando por
:
Para
,
Multiplicando por
(veja do passo 4 apareceu
):
Somando com
(do termo
) cancela
:
Então o segundo termo se reduz elegantemente a
.
Para
,
Multiplicando por
e subtraindo
(como em passo 5):
que simplifica para
Passo 7
Juntando os resultados dos passos anteriores termo a termo, obtemos
como soma das partes correspondentes:
- Primeiro termo (do passo 3):
- Segundo termo (do passo 6):
- Terceiro termo (do passo 6):
Somando tudo:
Podemos reescrever para ficar mais compacto (agrupando termos semelhantes):