Exercício 2: Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
, sendo
uma constante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal
, onde
é uma constante.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Sinal no tempo:
. - Queremos
, a transformada de Fourier desse sinal, usando a convenção usual (variável de frequência angular ).
Passo 2
Definimos a convenção de transformada de Fourier que vamos usar (a mais comum em sinais contínuos):
Explicação rápida dessa fórmula: é a soma (integral) de
multiplicada por complexos
; o resultado
descreve como as diferentes frequências
estão presentes em
. Aqui
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
Usamos o truque fundamental: escrever a senoide como combinação de exponenciais complexas (fórmula de Euler). A identidade é
Por que isso funciona? A fórmula de Euler diz
. Subtraindo
e dividindo por
sobra exatamente
. Aqui
.
Passo 4
Vamos calcular a transformada usando linearidade. Substituindo a decomposição:
Usando linearidade da integral:
Passo 5
Agora lembramos uma propriedade essencial (distribucional) das integrais de exponenciais: para constantes
,
onde
é a delta de Dirac. Intuição rápida: a integral sobre todo o tempo de uma exponencial complexa que oscila indefinidamente só “sobrevive” quando a frequência na exponencial é zero; formalmente isso gera um impulso (delta) centrado em
. Aplicando com
e
temos:
Passo 6
Substituindo esses resultados em
:
Fatorando
e simplificando:
Como
, uma forma mais simpática é
Reescrevendo trocando a ordem dos termos entre parênteses:
Passo 7
Interpretação e checagens rápidas (para você se sentir seguro na prova):
- O espectro consiste de impulsos (deltões) nas frequências
e . - Os coeficientes são puramente imaginários (
), o que faz sentido porque é uma função real e ímpar; sua transformada é imaginária e ímpar. - Forma alternativa, matematicamente equivalente, que às vezes aparece nos livros:
Ambas as expressões são a mesma coisa, apenas com sinais reordenados.