Exercício 2: Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
\quad x(t)=\operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right), sendo \omega_{0} uma constante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier do sinal x(t)=\operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right), onde \omega_{0} é uma constante.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Sinal no tempo: x(t)=\operatorname{sen}\!\left(\omega_{0} t\right).
  • Queremos X(\omega), a transformada de Fourier desse sinal, usando a convenção usual (variável de frequência angular \omega).

Passo 2

Definimos a convenção de transformada de Fourier que vamos usar (a mais comum em sinais contínuos):
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Explicação rápida dessa fórmula: é a soma (integral) de x(t) multiplicada por complexos e^{-j\omega t}; o resultado X(\omega) descreve como as diferentes frequências \omega estão presentes em x(t). Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1).

Passo 3

Usamos o truque fundamental: escrever a senoide como combinação de exponenciais complexas (fórmula de Euler). A identidade é
\operatorname{sen}\!\left(\omega_{0} t\right)=\frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}.
Por que isso funciona? A fórmula de Euler diz e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta. Subtraindo e^{-j\theta}=\cos\theta-j\sin\theta e dividindo por 2j sobra exatamente \sin\theta. Aqui \theta=\omega_{0}t.

Passo 4

Vamos calcular a transformada usando linearidade. Substituindo a decomposição:
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\,e^{-j\omega t}\,dt.
Usando linearidade da integral:
X(\omega)=\frac{1}{2j}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,dt \;-\; \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega+\omega_{0})t}\,dt\right).

Passo 5

Agora lembramos uma propriedade essencial (distribucional) das integrais de exponenciais: para constantes \alpha,
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\alpha t}\,dt = 2\pi\,\delta(\alpha),
onde \delta(\cdot) é a delta de Dirac. Intuição rápida: a integral sobre todo o tempo de uma exponencial complexa que oscila indefinidamente só “sobrevive” quando a frequência na exponencial é zero; formalmente isso gera um impulso (delta) centrado em \alpha=0. Aplicando com \alpha=\omega-\omega_{0} e \alpha=\omega+\omega_{0} temos:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}),
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega+\omega_{0})t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0}).

Passo 6

Substituindo esses resultados em X(\omega):
X(\omega)=\frac{1}{2j}\left(2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0}) - 2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0})\right).
Fatorando 2\pi e simplificando:
X(\omega)=\frac{2\pi}{2j}\left(\delta(\omega-\omega_{0}) - \delta(\omega+\omega_{0})\right)=\frac{\pi}{j}\left(\delta(\omega-\omega_{0}) - \delta(\omega+\omega_{0})\right).
Como \frac{1}{j}=-j, uma forma mais simpática é
X(\omega)= -j\pi\left(\delta(\omega-\omega_{0}) - \delta(\omega+\omega_{0})\right).
Reescrevendo trocando a ordem dos termos entre parênteses:
X(\omega)= j\pi\left(\delta(\omega+\omega_{0}) - \delta(\omega-\omega_{0})\right).

Passo 7

Interpretação e checagens rápidas (para você se sentir seguro na prova):
  • O espectro consiste de impulsos (deltões) nas frequências \omega=+\omega_{0} e \omega=-\omega_{0}.
  • Os coeficientes são puramente imaginários ( \pm j\pi), o que faz sentido porque \operatorname{sen} é uma função real e ímpar; sua transformada é imaginária e ímpar.
  • Forma alternativa, matematicamente equivalente, que às vezes aparece nos livros:
X(\omega)=-j\pi\left(\delta(\omega-\omega_{0}) - \delta(\omega+\omega_{0})\right).
Ambas as expressões são a mesma coisa, apenas com sinais reordenados.

Resposta

X(\omega)=j\pi\left(\delta(\omega+\omega_{0})-\delta(\omega-\omega_{0})\right)

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