Exercício 8: Determine o valor das integrais
integral0^+infty t^2 e^-3 t sen(4 t) u(t) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^+infty t^2e^-3tsin(4t),u(t),dt.
Como u(t) é a função de Heaviside, a integral fica sobre t>=0. Esse tipo de integral é exatamente a transformada de Laplace de sin(4t) multiplicada por t^2. Vamos usar a propriedade
integral0^infty t^ne^-s tf(t),dt ;=;d^nds^nl[F(s)r],
onde F(s)=Lf(t)(s).

Passo 2

Calculamos primeiro a transformada de Laplace de f(t)=sin(4t):
F(s);=;integral0^inftye^-s tsin(4t),dt ;=;4s^2+16

Passo 3

Pela propriedade de derivadas,
integral0^inftyt^2e^-s tsin(4t),dt ;=;d^2ds^2l[4s^2+16r]
No nosso caso s=3, logo
I ;=;d^2ds^2l[4s^2+16r]|s=3

Passo 4

Vamos derivar passo a passo:
F(s)=4,(s^2+16)^-1,
F'(s) =-8s,(s^2+16)^-2,
F''(s) =ddsl[-8s,(s^2+16)^-2r] =-8,(s^2+16)^-2+32s^2,(s^2+16)^-3 =8,(3s^2-16)(s^2+16)^3

Passo 5

Agora avaliamos em s=3:
I =8,(3cdot3^2-16)(3^2+16)^3 =8,(27-16)25^3 =8cdot1115625 =8815625

Resposta

8815625

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