O sistema com a função de transferência apresentada abaixo opera com compensador proporcional
apresentando determinado overshoot e tempo de assentamento de aproximadamente 18s para entrada de referência degrau.
a. Indique o valor do compensador proporcional
e erro de regime permanente para referência à rampa nesta situação.
b. Projete DOIS compensadores de atraso de fase que melhorem em 30 vezes o erro de regime permanente para entrada em rampa, quando comparado ao sistema operando somente com controlador proporcional.
i. Para o primeiro considere o polo do compensador em 0,001 e para o segundo compensador o polo em 0,01.
ii. Escolha qual compensador seria o mais indicado, observando a resposta transitória.
b. Projete DOIS compensadores de atraso de fase que melhorem em 30 vezes o erro de regime permanente para entrada em rampa, quando comparado ao sistema operando somente com controlador proporcional.
i. Para o primeiro considere o polo do compensador em 0,001 e para o segundo compensador o polo em 0,01.
ii. Escolha qual compensador seria o mais indicado, observando a resposta transitória.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de malha aberta
com controlador proporcional
. Ele opera com determinado overshoot
e tempo de assentamento ao degrau
.
Conteúdo: projeto de controlador proporcional a partir de especificações de sobre-pico e tempo de assentamento (usando a aproximação de segundo-ordem dominante) e cálculo de erro em regime permanente para entrada rampa.
Conteúdo: projeto de controlador proporcional a partir de especificações de sobre-pico e tempo de assentamento (usando a aproximação de segundo-ordem dominante) e cálculo de erro em regime permanente para entrada rampa.
Passo 2
Aproximação de segundo-ordem dominante:
. O sobre-pico
define o coeficiente de amortecimento
via
Supondo que duas raízes formem o par complexo dominante
e a terceira raiz em
, igualamos coeficientes de
com os de
para resolver
e
.
Passo 3
Erro em regime permanente para rampa. O ganho estático de velocidade é
Logo o erro permanente para entrada rampa é
Passo 4
Queremos reduzir
em
vezes. Basta aumentar
em fator
, ou seja
Um compensador de atraso de fase típico tem forma
onde, para obter ganho de baixa frequência igual a
, escolhemos
Passo 5
Projetos pedem dois casos:
i) polo em
: então
.
ii) polo em
: então
.
Em ambos usamos o mesmo
encontrado no Passo
.
Passo 6
Comparação da resposta transitória:
- Quando o polo-zero de atraso está muito próximo da origem (
), ele praticamente não interfere na banda de passagem e a dinâmica dominante quase não muda. - Para
, o par polo-zero começa a invadir a banda de interesse e degradar ligeiramente a resposta transitória.
Portanto, o compensador mais indicado é aquele com o polo em
, pois melhora o erro de rampa em
vezes sem afetar significativamente o overshoot nem o tempo de assentamento.
Resposta
(a)
– Ganho proporcional obtido igualando o polinômio
– Ganho proporcional
ao produto
,
onde vem do overshoot e
.
– Erro permanente para rampa
onde
– Erro permanente para rampa
(b)
(i) Polo em :
(ii) Polo em :
(i) Polo em
(ii) Polo em
(iii) O mais indicado é
(polo em
).