(1,5) O sistema com a função de transferência apresentada abaixo opera com compensador proporcional Gc(s)=K apresentando determinado overshoot e tempo de assentamento de aproximadamente 18s para entrada de referência degrau.
G(s)=1s^3+5,5 s^2+2,5 s
a. Indique o valor do compensador proporcional Gc(s)=K e erro de regime permanente para referência à rampa nesta situação.
b. Projete DOIS compensadores de atraso de fase que melhorem em 30 vezes o erro de regime permanente para entrada em rampa, quando comparado ao sistema operando somente com controlador proporcional.
i. Para o primeiro considere o polo do compensador em 0,001 e para o segundo compensador o polo em 0,01.
ii. Escolha qual compensador seria o mais indicado, observando a resposta transitória.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de malha aberta
G(s)=1s^3+5,5,s^2+2,5,s
com controlador proporcional Gc(s)=K. Ele opera com determinado overshoot Mp e tempo de assentamento ao degrau Tsapprox18:s.
Conteúdo: projeto de controlador proporcional a partir de especificações de sobre-pico e tempo de assentamento (usando a aproximação de segundo-ordem dominante) e cálculo de erro em regime permanente para entrada rampa.

Passo 2

Aproximação de segundo-ordem dominante:
1. O sobre-pico Mp define o coeficiente de amortecimento zeta via
Mp = expl(-pizetaraiz1-zeta^2r),
2. O tempo de assentamento de 2% satisfaz
Ts approx 4zeta,omegan = 18Longrightarrow zeta,omegan = 418approx0,2222,
3. Uma vez zeta conhecida (a partir de Mp), obtém-se omegan.
4. A função característica em malha fechada é
1+K,G(s)=0 ;Longrightarrow; s^3+5,5,s^2+2,5,s+K=0
Supondo que duas raízes formem o par complexo dominante s1,2=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 e a terceira raiz em s=-a, igualamos coeficientes de
(s^2+2zetaomegan s+omegan^2),(s+a)
com os de s^3+5,5s^2+2,5s+K para resolver a e K.

Passo 3

Erro em regime permanente para rampa. O ganho estático de velocidade é
Kv = limsto0 s,L(s) = limsto0 s;Ks^3+5,5s^2+2,5s = K2,5,
Logo o erro permanente para entrada rampa é
einfty,rampa = 1Kv = 2,5K,

Passo 4

Queremos reduzir einfty,rampa em 30 vezes. Basta aumentar Kv em fator 30, ou seja
Kv,novo = 30,Kv
Um compensador de atraso de fase típico tem forma
Glag(s) = K;s+zs+p
onde, para obter ganho de baixa frequência igual a 30, escolhemos
zp = 30

Passo 5

Projetos pedem dois casos:
i) polo em p=0,001: então z=30,p=0,03.
Gc1(s) = K,s+0,03s+0,001
ii) polo em p=0,01: então z=30,p=0,3.
Gc2(s) = K,s+0,3s+0,01
Em ambos usamos o mesmo K encontrado no Passo 2.

Passo 6

Comparação da resposta transitória:
  • Quando o polo-zero de atraso está muito próximo da origem ( p=0,001), ele praticamente não interfere na banda de passagem e a dinâmica dominante quase não muda.
  • Para p=0,01, o par polo-zero começa a invadir a banda de interesse e degradar ligeiramente a resposta transitória.
Portanto, o compensador mais indicado é aquele com o polo em p=0,001, pois melhora o erro de rampa em 30 vezes sem afetar significativamente o overshoot nem o tempo de assentamento.

Resposta

(a)
– Ganho proporcional K obtido igualando o polinômio
s^3+5,5s^2+2,5s+K
ao produto
(s^2+2zetaomegan s+omegan^2)(s+a),
onde zeta vem do overshoot e omegan=4/(18,zeta).
– Erro permanente para rampa
einfty,rampa = 2,5K
(b)
(i) Polo em 0,001: Gc1(s)=K,dfracs+0,03s+0,001
(ii) Polo em 0,01: Gc2(s)=K,dfracs+0,3s+0,01
(iii) O mais indicado é Gc1(s) (polo em 0,001).

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