Exercício 0.5 Determine os valores de
para que a função
tem um zero real duplo.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede: determinar os valores de
tais que
tenha um zero real duplo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por
. - Queremos os valores de
para os quais existe uma raiz real de multiplicidade (ou seja, um zero duplo).
Passo 2
O que significa ter um zero real duplo para uma quadrática?
Para um polinômio quadrático geral
Para um polinômio quadrático geral
um zero real duplo ocorre exatamente quando as duas raízes coincidem. A condição algébrica que garante isso é que o discriminante seja zero. Definição e explicação do discriminante:
- O discriminante é
. - Se
há duas raízes reais distintas. - Se
há uma raiz real dupla (as duas raízes coincidem). - Se
não há raízes reais.
Antes de aplicar a condição, precisamos identificar , e na nossa função e considerar o caso degenerado .
Passo 3
Identificar os coeficientes da quadrática em função de
:
Observação sobre o caso degenerado: se
(isto é,
) a função deixa de ser quadrática e vira uma função linear
, que não pode ter uma raiz de multiplicidade
(a menos que todos os coeficientes fossem zero, o que aqui não acontece). Logo
não pode ser solução do problema de zero duplo. Assim podemos aplicar a condição do discriminante para
.
Passo 4
Calcular o discriminante
em termos de
e impor
:
Fatorando
em comum:
Impondo
obtemos a equação
Portanto as soluções são
Passo 5
Verificar se essas soluções são admissíveis (não degeneram a quadrática de forma inadequada) e interpretar:
- Para
: os coeficientes ficam , , . A função é , que tem raiz dupla em (de fato ). Então é válido. - Para
: os coeficientes ficam , , . Multiplicando por obtemos , raiz dupla em . Portanto é válido. - Lembrando que
foi excluído porque transforma a quadrática em linear; não aparece entre as soluções obtidas.
Passo 6
Relação prática que fica decorada para a prova: para uma quadrática com coeficientes dependentes de parâmetro, calcule o discriminante em função do parâmetro, imponha
e verifique degenerações (como
ou polinômio identicamente nulo). Aqui isso conduz direto às soluções acima.