Exercício 0.5 Determine os valores de m para que a função f(x)=m x^{2}+(m+1) x+ (m+1) tem um zero real duplo.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=m x^{2}+(m+1) x+(m+1) e pede: determinar os valores de m tais que f tenha um zero real duplo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por f(x)=m x^{2}+(m+1) x+(m+1).
  • Queremos os valores de m para os quais existe uma raiz real de multiplicidade 2 (ou seja, um zero duplo).

Passo 2

O que significa ter um zero real duplo para uma quadrática?
Para um polinômio quadrático geral
a x^{2}+b x+c
um zero real duplo ocorre exatamente quando as duas raízes coincidem. A condição algébrica que garante isso é que o discriminante seja zero. Definição e explicação do discriminante:
  • O discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
  • Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0 há uma raiz real dupla (as duas raízes coincidem).
  • Se \Delta<0 não há raízes reais.
    Antes de aplicar a condição \Delta=0, precisamos identificar a, b e c na nossa função e considerar o caso degenerado a=0.

Passo 3

Identificar os coeficientes da quadrática em função de m:
a=m,\qquad b=m+1,\qquad c=m+1.
Observação sobre o caso degenerado: se a=0 (isto é, m=0) a função deixa de ser quadrática e vira uma função linear f(x)=x+1, que não pode ter uma raiz de multiplicidade 2 (a menos que todos os coeficientes fossem zero, o que aqui não acontece). Logo m=0 não pode ser solução do problema de zero duplo. Assim podemos aplicar a condição do discriminante para m\neq0.

Passo 4

Calcular o discriminante \Delta em termos de m e impor \Delta=0:
\Delta=(m+1)^{2}-4\cdot m\cdot (m+1).
Fatorando (m+1) em comum:
\Delta=(m+1)\bigl((m+1)-4m\bigr)=(m+1)\bigl(1-3m\bigr).
Impondo \Delta=0 obtemos a equação
(m+1)\bigl(1-3m\bigr)=0.
Portanto as soluções são
m=-1\qquad\text{ou}\qquad m=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificar se essas soluções são admissíveis (não degeneram a quadrática de forma inadequada) e interpretar:
  • Para m=-1: os coeficientes ficam a=-1, b=0, c=0. A função é f(x)=-x^{2}, que tem raiz dupla em x=0 (de fato -x^{2}=-(x-0)^{2}). Então m=-1 é válido.
  • Para m=\dfrac{1}{3}: os coeficientes ficam a=\dfrac{1}{3}, b=\dfrac{4}{3}, c=\dfrac{4}{3}. Multiplicando por 3 obtemos x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}, raiz dupla em x=-2. Portanto m=\dfrac{1}{3} é válido.
  • Lembrando que m=0 foi excluído porque transforma a quadrática em linear; não aparece entre as soluções obtidas.

Passo 6

Relação prática que fica decorada para a prova: para uma quadrática com coeficientes dependentes de parâmetro, calcule o discriminante em função do parâmetro, imponha \Delta=0 e verifique degenerações (como a=0 ou polinômio identicamente nulo). Aqui isso conduz direto às soluções acima.

Resposta

m=-1
m=\dfrac{1}{3}

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