Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
f(x)=x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os zeros reais da função
f(x)=x^{2}-\sqrt{2}\,x+\frac{1}{2}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • a função é um polinômio quadrático de coeficientes a=1, b=-\sqrt{2}, c=\tfrac{1}{2}.
  • a tarefa é achar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

O que significa “achar os zeros reais”?
Significa resolver a equação
f(x)=0,
ou seja
x^{2}-\sqrt{2}\,x+\frac{1}{2}=0.
Um polinômio quadrático pode ter 0, 1 ou 2 raízes reais; a natureza das raízes é dada pelo discriminante. Vou usar isso porque é rápido e direto — depois eu mostro também o método de completar quadrado, que ajuda a entender a forma do polinômio.

Passo 3

Definição e uso do discriminante. Para a equação quadrática \,ax^{2}+bx+c=0, o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac.
Interpretação rápida:
  • Se \Delta>0 então há duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0 então há uma raiz real dupla (uma única raiz real, multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0 então não há raízes reais.
Vamos calcular \Delta com os coeficientes dados ( a=1, b=-\sqrt{2}, c=\tfrac{1}{2}):
\Delta = (-\sqrt{2})^{2}-4\cdot1\cdot\frac{1}{2}.
Calcule termo a termo:
(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2, \qquad 4\cdot1\cdot\frac{1}{2}=2.
Portanto
\Delta=2-2=0.
Como \Delta=0, a equação tem exatamente uma raiz real (com multiplicidade 2).

Passo 4

Encontrar a raiz usando a fórmula quadrática. Para \,ax^{2}+bx+c=0 as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Como \Delta=0, isso reduz para
x=\frac{-b}{2a}.
Substituindo a=1 e b=-\sqrt{2}:
x=\frac{-(-\sqrt{2})}{2\cdot1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo a única raiz real é \displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}, com multiplicidade 2.

Passo 5

Método alternativo (completar o quadrado) — útil para entender a forma do polinômio. Quero escrever f(x) como um quadrado perfeito mais uma constante:
Começo por tentar escrever
x^{2}-\sqrt{2}\,x+\frac{1}{2}=(x-\alpha)^{2}+\beta
para alguns \alpha,\beta. Expandindo o quadrado:
(x-\alpha)^{2}=x^{2}-2\alpha x+\alpha^{2}.
Comparando com x^{2}-\sqrt{2}\,x+\frac{1}{2} vemos que deve valer 2\alpha=\sqrt{2}, ou seja
\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então \alpha^{2}=\frac{1}{2}. Substituindo,
(x-\alpha)^{2}=x^{2}-\sqrt{2}\,x+\frac{1}{2}.
Portanto \beta=0 e obtemos a identidade exata
f(x)=(x-\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}.
Isto mostra imediatamente que f(x)=0 exatamente quando x=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, e como é um quadrado perfeito a raiz tem multiplicidade 2. É um jeito bem direto e intuitivo de ver a estrutura do polinômio.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: encontramos que o discriminante é zero, o que indica uma única raiz real; completando o quadrado confirmamos que a função é um quadrado perfeito (x-\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}. Em provas, calcular o discriminante é o caminho mais rápido; completar o quadrado ajuda a entender multiplicidade e a forma do polinômio. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — isso fixa o raciocínio. Vamos com tudo!

Resposta

\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}

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