Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os zeros reais da função
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- a função é um polinômio quadrático de coeficientes
, , . - a tarefa é achar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
O que significa “achar os zeros reais”?
Significa resolver a equação
Significa resolver a equação
ou seja
Um polinômio quadrático pode ter 0, 1 ou 2 raízes reais; a natureza das raízes é dada pelo discriminante. Vou usar isso porque é rápido e direto — depois eu mostro também o método de completar quadrado, que ajuda a entender a forma do polinômio.
Passo 3
Definição e uso do discriminante. Para a equação quadrática
, o discriminante é
Interpretação rápida:
- Se
então há duas raízes reais distintas. - Se
então há uma raiz real dupla (uma única raiz real, multiplicidade 2). - Se
então não há raízes reais.
Vamos calcular
com os coeficientes dados (
,
,
):
Calcule termo a termo:
Portanto
Como
, a equação tem exatamente uma raiz real (com multiplicidade 2).
Passo 4
Encontrar a raiz usando a fórmula quadrática. Para
as soluções são
Como
, isso reduz para
Substituindo
e
:
Logo a única raiz real é
, com multiplicidade 2.
Passo 5
Método alternativo (completar o quadrado) — útil para entender a forma do polinômio. Quero escrever
como um quadrado perfeito mais uma constante:
Começo por tentar escrever
Começo por tentar escrever
para alguns
. Expandindo o quadrado:
Comparando com
vemos que deve valer
, ou seja
Então
. Substituindo,
Portanto
e obtemos a identidade exata
Isto mostra imediatamente que
exatamente quando
, e como é um quadrado perfeito a raiz tem multiplicidade 2. É um jeito bem direto e intuitivo de ver a estrutura do polinômio.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: encontramos que o discriminante é zero, o que indica uma única raiz real; completando o quadrado confirmamos que a função é um quadrado perfeito
. Em provas, calcular o discriminante é o caminho mais rápido; completar o quadrado ajuda a entender multiplicidade e a forma do polinômio. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — isso fixa o raciocínio. Vamos com tudo!