Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
- Se
é uma função, então
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. A afirmação é:
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
- Só foi dito que
é uma função (não foram especificados domínio, contradomínio, continuidade, linearidade, etc.). - A igualdade
está escrita de forma genérica, o que normalmente significa “para todo e todo do domínio de ”.
O que o problema pede: decidir se essa afirmação universal (valendo para toda função) é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, explicar por que e (ou) fornecer um contraexemplo.
Passo 2
Entendendo o que a igualdade diz. A igualdade
é uma propriedade especial que algumas funções têm (chama-se propriedade aditiva). Mas o enunciado afirma que qualquer função teria essa propriedade. Antes de aceitar isso precisamos lembrar o que é uma função: uma função
é apenas uma regra que associa a cada elemento do domínio um único valor no contradomínio. Não há, por si só, nenhuma obrigação de que essa regra preserve soma (ou qualquer outra operação). Logo, a afirmação parece forte demais: ela afirma que toda função é aditiva. Para decidir precisamos testar com exemplos concretos.
Passo 3
Construindo um contraexemplo simples. Tome o domínio como
(números reais) e defina a função
Vamos verificar se essa função satisfaz a propriedade para todos
. Calcule:
enquanto
Comparando,
Esse valor nem sempre é zero (por exemplo, se
e
temos
). Assim para
e
logo
. Isso mostra que a função
não satisfaz a propriedade aditiva para todos
. Portanto a afirmação “toda função
satisfaz
” é falsa.
Passo 4
Outro contraexemplo ainda mais direto. Considere a função constante não nula, por exemplo
Então
logo
para qualquer
. Esse exemplo é muito imediato e deixa claro que a propriedade não é automática para funções.
Passo 5
Quando a afirmação seria verdadeira? É útil saber isso para a prova. A igualdade
é conhecida como equação funcional de Cauchy (ou propriedade de aditividade). Nem toda função a satisfaz, mas as funções que a satisfazem são chamadas funções aditivas. Há duas observações práticas importantes que convém saber:
- Exemplos simples que satisfazem a propriedade são as funções lineares
(com fixo): para elas
- Se exigirmos, além da equação aditiva, alguma condição regular (por exemplo continuidade em algum ponto, ou ser mensurável, ou ser limitada num intervalo), então a solução obrigatoriamente é da forma
ou seja, aditividade + regularidade implica linearidade. Sem regularidade, existem soluções “patológicas” que não são da forma
(essas exigem escolha axiomática/Hamel basis para serem construídas).
Passo 6
Conclusão prática e dica de prova: a afirmação do enunciado é falsa porque basta dar um único contraexemplo. Em provas, quando uma afirmação universal sobre “toda função” aparece, uma boa estratégia é tentar funções simples (polinômios, constantes, identidades) para achar um contraexemplo. Se encontrar um, a afirmação é refutada imediatamente; se não encontrar um rápido, verifique se faltam hipóteses (continuidade, linearidade, etc.) que tornariam a afirmação verdadeira.
Resposta
Falsa.