Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
  1. Se f é uma função, então f(s+t)=f(s)+f(t).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. A afirmação é:
\text{Se } f \text{ é uma função, então } f(s+t)=f(s)+f(t).éçãã
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Só foi dito que f é uma função (não foram especificados domínio, contradomínio, continuidade, linearidade, etc.).
  • A igualdade f(s+t)=f(s)+f(t) está escrita de forma genérica, o que normalmente significa “para todo s e todo t do domínio de f”.
    O que o problema pede: decidir se essa afirmação universal (valendo para toda função f) é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justificar; se for falsa, explicar por que e (ou) fornecer um contraexemplo.

Passo 2

Entendendo o que a igualdade diz. A igualdade
f(s+t)=f(s)+f(t)
é uma propriedade especial que algumas funções têm (chama-se propriedade aditiva). Mas o enunciado afirma que qualquer função teria essa propriedade. Antes de aceitar isso precisamos lembrar o que é uma função: uma função f é apenas uma regra que associa a cada elemento do domínio um único valor no contradomínio. Não há, por si só, nenhuma obrigação de que essa regra preserve soma (ou qualquer outra operação). Logo, a afirmação parece forte demais: ela afirma que toda função é aditiva. Para decidir precisamos testar com exemplos concretos.

Passo 3

Construindo um contraexemplo simples. Tome o domínio como \mathbb{R} (números reais) e defina a função
f(x)=x^2.
Vamos verificar se essa função satisfaz a propriedade para todos s,t. Calcule:
f(s+t)=(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2,
enquanto
f(s)+f(t)=s^2+t^2.
Comparando,
f(s+t)-\bigl(f(s)+f(t)\bigr)=2st.
Esse valor nem sempre é zero (por exemplo, se s=1 e t=1 temos 2st=2). Assim para s=1 e t=1
f(1+1)=f(2)=4, \qquad f(1)+f(1)=1+1=2,
logo f(2)\neq f(1)+f(1). Isso mostra que a função f(x)=x^2 não satisfaz a propriedade aditiva para todos s,t. Portanto a afirmação “toda função f satisfaz f(s+t)=f(s)+f(t)” é falsa.

Passo 4

Outro contraexemplo ainda mais direto. Considere a função constante não nula, por exemplo
g(x)=1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Então
g(s+t)=1, \qquad g(s)+g(t)=1+1=2,
logo g(s+t)\neq g(s)+g(t) para qualquer s,t. Esse exemplo é muito imediato e deixa claro que a propriedade não é automática para funções.

Passo 5

Quando a afirmação seria verdadeira? É útil saber isso para a prova. A igualdade
f(s+t)=f(s)+f(t)\quad\text{para todos }s,t
é conhecida como equação funcional de Cauchy (ou propriedade de aditividade). Nem toda função a satisfaz, mas as funções que a satisfazem são chamadas funções aditivas. Há duas observações práticas importantes que convém saber:
  • Exemplos simples que satisfazem a propriedade são as funções lineares \,f(x)=a x (com a fixo): para elas
f(s+t)=a(s+t)=as+at=f(s)+f(t).
  • Se exigirmos, além da equação aditiva, alguma condição regular (por exemplo continuidade em algum ponto, ou ser mensurável, ou ser limitada num intervalo), então a solução obrigatoriamente é da forma
f(x)=a x\quad\text{para algum constante }a,
ou seja, aditividade + regularidade implica linearidade. Sem regularidade, existem soluções “patológicas” que não são da forma a x (essas exigem escolha axiomática/Hamel basis para serem construídas).

Passo 6

Conclusão prática e dica de prova: a afirmação do enunciado é falsa porque basta dar um único contraexemplo. Em provas, quando uma afirmação universal sobre “toda função” aparece, uma boa estratégia é tentar funções simples (polinômios, constantes, identidades) para achar um contraexemplo. Se encontrar um, a afirmação é refutada imediatamente; se não encontrar um rápido, verifique se faltam hipóteses (continuidade, linearidade, etc.) que tornariam a afirmação verdadeira.

Resposta

Falsa.

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