Exercício 2. Considere a função
f(x)=x^{1 / 3}(x+4)
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de f(x), caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{1/3}(x+4)
e pede: (a) os intervalos de crescimento e decrescimento; (b) os extremos locais.
Conteúdo: derivada de função envolvendo potência fracionária e análise de sinal de f'.

Passo 2

Para encontrar f'(x), é mais fácil reescrever
f(x)=x^{1/3}\,x+4\,x^{1/3}=x^{4/3}+4\,x^{1/3}.
Aplicando a regra de potência, para x\neq0:
f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}+\frac{4}{3}x^{-2/3} =\frac{4}{3}\Bigl(x^{1/3}+x^{-2/3}\Bigr) =\frac{4}{3}\,\frac{x+1}{x^{2/3}}.

Passo 3

Estudamos o sinal de
f'(x)=\frac{4}{3}\,\frac{x+1}{x^{2/3}}.
O fator \tfrac{4}{3} é sempre positivo e x^{2/3}>0 para todo x\neq0.
Logo o sinal de f'(x) vem de x+1:
  • Se x+1>0, ou seja x>-1, então f'(x)>0.
  • Se x+1<0, ou seja x<-1, então f'(x)<0.
    Em x=0 a derivada não existe (divisão por zero).

Passo 4

Com base no sinal de f':
  • Em (-\infty,-1): f'(x)<0, logo f é decrescente.
  • Em (-1,0): f'(x)>0, logo f é crescente.
  • Em (0,\infty): f'(x)>0, logo f continua crescente (apesar de f' não existir em 0).

Passo 5

Pontos críticos: onde f'=0 ou indefinida, isto é x=-1 e x=0.
  • Em x=-1: f' muda de negativo para positivo \implies mínimo local. f(-1)=(-1)^{1/3}\cdot3=-1\cdot3=-3.
  • Em x=0: f' é positivo de ambos os lados \implies não há extremo em 0.

Resposta

(a) f é decrescente em (-\infty,-1) e crescente em (-1,0) e em (0,\infty).
(b) Há um único mínimo local em x=-1, com valor f(-1)=-3. Não existem máximos locais.

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