Exercício 2. Considere a função
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de
, caso existam.
(b) Determine os valores máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) os intervalos de crescimento e decrescimento; (b) os extremos locais.
Conteúdo: derivada de função envolvendo potência fracionária e análise de sinal de .
Conteúdo: derivada de função envolvendo potência fracionária e análise de sinal de
Passo 2
Para encontrar
, é mais fácil reescrever
Aplicando a regra de potência, para
:
Passo 3
Estudamos o sinal de
O fator
é sempre positivo e
para todo
.
Logo o sinal de vem de
:
Logo o sinal de
- Se
, ou seja , então . - Se
, ou seja , então .
Ema derivada não existe (divisão por zero).
Passo 4
Com base no sinal de
:
- Em
: , logo é decrescente. - Em
: , logo é crescente. - Em
: , logo continua crescente (apesar de não existir em ).
Passo 5
Pontos críticos: onde
ou indefinida, isto é
e
.
- Em
: muda de negativo para positivo mínimo local. - Em
: é positivo de ambos os lados não há extremo em .
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
e em
.
(b) Há um único mínimo local em , com valor
. Não existem máximos locais.
(b) Há um único mínimo local em