Exercício 2. Determine se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um contraexemplo ou corrija.
Se f^{\prime}(1)>0 então f(1)>0.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma função f, se
f'(1)>0
então necessariamente
f(1)>0.
O conteúdo envolve interpretação do sinal da derivada em um ponto e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Sabendo que f'(1)>0 significa apenas que a tangente a f em x=1 tem inclinação positiva, ou seja, f está localmente crescente em torno de x=1. Isso não traz nenhuma informação sobre o valor absoluto de f(1), que pode ser positivo, zero ou negativo.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contraexemplo. Considere
f(x)=x-2.
Então
f'(x)=1
para todo x, e em particular
f'(1)=1>0,
porém
f(1)=1-2=-1<0.
Logo, f'(1)>0 mas f(1)<0, contradizendo a afirmação.

Resposta

Falso. Por exemplo, f(x)=x-2 satisfaz f'(1)=1>0 e f(1)=-1<0.

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