Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{3 x^{2}+4 x+3}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{3x^{2}+4x+3}{x+1}
Esse é um caso de função quociente, mas podemos simplificar a conta fazendo divisão de polinômios antes de aplicar regras de derivação.

Passo 2

Fazendo a divisão de 3x^{2}+4x+3 por x+1:
3x^{2}+4x+3 = (x+1)\cdot(3x+1) + 2
Logo,
\frac{3x^{2}+4x+3}{x+1} = 3x+1 + \frac{2}{x+1}.

Passo 3

Reescrevemos
f(x)=3x+1 + 2\,(x+1)^{-1}.
Assim fica fácil derivar termo a termo.

Passo 4

Aplicando derivada em cada parcela:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(3x+1)=3.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(2\,(x+1)^{-1}\bigr)=2\cdot(-1)\,(x+1)^{-2}=-\frac{2}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=3 - \frac{2}{(x+1)^{2}}.
Podemos também escrever com denominador comum:
f'(x)=\frac{3(x+1)^{2}-2}{(x+1)^{2}} =\frac{3x^{2}+6x+1}{(x+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=3 - \frac{2}{(x+1)^{2}} \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{3x^{2}+6x+1}{(x+1)^{2}}.

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