Determine a equação da reta tangente em (p, f(p)) :
f(x)=x^{2}+\tan x e p=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente em \bigl(p,f(p)\bigr) para a função
f(x)=x^{2}+\tan x
no ponto p=\tfrac{\pi}{4}.
Para isso, precisamos de dois ingredientes: o valor de f(p) e a derivada f'(x) avaliada em x=p.

Passo 2

Calculemos primeiro o valor de f em p:
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)^{2}+\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\tfrac{\pi^{2}}{16}+1.

Passo 3

Agora a derivada de f:
a derivada de x^{2} é 2x e a de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, logo
f'(x)=2x+\operatorname{sec}^{2}x.
Em seguida, avaliamos em x=\tfrac{\pi}{4}:
f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\cdot\tfrac{\pi}{4}+\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\tfrac{\pi}{2}+(\sqrt{2})^{2} =\tfrac{\pi}{2}+2.

Passo 4

A equação da reta tangente em ponto ponto–inclinação é
y - f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =f'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Substituindo os valores encontrados, obtemos
y - \Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{16}+1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\Bigr)\Bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

\boxed{% y - \Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{16}+1\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\Bigr)\Bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\Bigr) }.

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