Exercicio 2. Determine se os vetores a=(1,2,-1), b=(3,1,4) e c=(2,5,3) em R^3 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores a=(1,2,-1), b=(3,1,4) e c=(2,5,3) em R^3 são linearmente independentes. O conteúdo é dependência/independência linear de vetores e vamos usar o fato de que três vetores em R^3 são independentes se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores a, b e c:
M = 1 & 3 & 2 2 & 1 & 5 -1 & 4 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão de Laplace:
det(M) =1cdotdet1 & 5 4 & 3 -3cdotdet2 & 5 -1 & 3 +2cdotdet2 & 1 -1 & 4
Os menores são
det1 & 5 4 & 3 =1cdot 3 -5cdot 4=-17,
det2 & 5 -1 & 3 =2cdot 3 -5cdot(-1)=11,
det2 & 1 -1 & 4 =2cdot 4 -1cdot(-1)=9
Substituindo,
det(M) =1cdot(-17) -3cdot 11 +2cdot 9 = -17 -33 +18 = -32

Passo 4

Como det(M) = -32 neq 0, concluímos que a única solução para alphaa+betab+gammac=0 é alpha=beta=gamma=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores a, b e c são linearmente independentes.

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