Exercício 8: Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por
\quad X\left(e^{j \omega}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a sequência discreta x[n] cuja transformada de Fourier (DTFT) é
X\!\left(e^{j\omega}\right)=1
para todo \omega. Informação que temos: a função frequência X(e^{j\omega}) é a constante 1 em toda a banda -\pi\le\omega\le\pi. A incógnita é a sequência x[n] definida para todo n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vamos usar a fórmula inversa da DTFT para recuperar x[n] a partir de X(e^{j\omega}). A fórmula inversa é
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X\!\left(e^{j\omega}\right)\,e^{j\omega n}\,d\omega.
Explicando a fórmula passo a passo:
  • x[n] é o valor da sequência no índice inteiro n.
  • X\!\left(e^{j\omega}\right) é a DTFT (função de \omega, contínua).
  • e^{j\omega n} é o kernel de inversão que “soma” as contribuições de frequência para o índice n.
  • A integral é tomada em \omega no intervalo fundamental [-\pi,\pi].
    Essa fórmula é a maneira direta de obter x[n] a partir de X.

Passo 3

Substituímos X\!\left(e^{j\omega}\right)=1 na fórmula inversa:
x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 1\cdot e^{j\omega n}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega n}\,d\omega.

Passo 4

Agora avaliamos a integral \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega n}\,d\omega dependendo de n.
Caso n=0:
\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega\cdot 0}\,d\omega=\int_{-\pi}^{\pi} 1\,d\omega=2\pi.
Caso n\neq 0 (lembre: n é inteiro):
Calcule a primitiva:
\int e^{j\omega n}\,d\omega=\frac{e^{j\omega n}}{j n}.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega n}\,d\omega=\left.\frac{e^{j\omega n}}{j n}\right|_{-\pi}^{\pi} =\frac{e^{j\pi n}-e^{-j\pi n}}{j n}.
Usando a identidade e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta, obtemos
\frac{e^{j\pi n}-e^{-j\pi n}}{j n}=\frac{2j\sin(\pi n)}{j n}=\frac{2\sin(\pi n)}{n}.
Mas \sin(\pi n)=0 para todo inteiro n. Logo, para n\neq 0 a integral vale 0.

Passo 5

Voltando para x[n]:
  • Se n=0,
x[0]=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi=1.
  • Se n\neq 0,
x[n]=\frac{1}{2\pi}\cdot 0=0.
Portanto, a sequência é zero para todo n\neq 0 e vale 1 em n=0. Essa sequência é exatamente o impulso discreto (delta de Kronecker).

Passo 6

Confirmação curta (cheque rápido): a DTFT da sequência \delta[n] é
\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[k]\,e^{-j\omega k}=e^{-j\omega\cdot 0}=1,
o que bate com X(e^{j\omega})=1. Tudo consistente — nice!

Resposta

\delta[n]

Exercícios relacionados