Exercício 5: Determine
cujas transformadas de Fourier são dadas por
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier
e pede para determinar
, a função no domínio do tempo cuja transformada é
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação útil (que usarei adiante):
representa a transformada de Fourier de alguma função no tempo que denominarei
, isto é,
O enunciado não dá explicitamente
, por isso terei que expressar
em função de
. Mais adiante dou um exemplo concreto para quando
for conhecido.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula da transformada inversa de Fourier (convenção de frequência angular):
Aplicando isso diretamente a
obtemos
Simplificando o fator
dentro da integral:
Passo 3
Agora uso o teorema da convolução no contexto das transformadas de Fourier. Vou explicar e mostrar por que ele vale (de modo direto e didático).
Sejam
e
funções com transformadas
e
. Pelo teorema da convolução:
onde a convolução temporal está definida por
Justificativa rápida (esqueleto da demonstração): começar da definição
trocar a ordem das integrais (Fubini), fazer a mudança de variável
na integral externa e reconhecer que surgem os fatores
e
. Assim a transformada da convolução é o produto das transformadas. Consequentemente, por invertendo a relação, o produto
tem como transformada inversa o sinal convoluído
.
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução ao nosso caso: identifique
Se
e
(ou seja,
é a função correspondente a
), então a transformada inversa de
é o produto convolucional
.
Mas atenção: nossa
tem um fator extra
. Usando a definição da transformada inversa:
Comparando com a expressão padrão para
, vemos que o fator
no domínio da frequência corresponde a multiplicar por
no domínio do tempo. Assim
Passo 5
Agora preciso achar explicitamente
.
Usarei um par de transformadas padrão muito comum e útil:
Esta é uma transformada clássica (pode ser demonstrada por integração complexa ou tabelas de transforms). Dividindo ambos os lados por
obtemos o par
Portanto
Explicando em palavras:
é a transformada de Fourier da função de Cauchy normalizada
.
Passo 6
Juntando tudo:
-
corresponde a . -
corresponde a . -
tem como transformada inversa .
Agora escrevo o produto convolucional explicitamente:
Multiplicando por
(por causa do fator
em
):
Cancelando
:
Alternativamente, trocando a variável de integração (substituindo
) obtemos a forma equivalente
Exemplo concreto rápido para ganhar confiança: se
então
e
Pela fórmula acima,
que coincide com a inversa direta:
vezes
dá
. Isso confirma a consistência.
Resposta
ou, equivalentemente,