Exercício 5: Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
X(j \omega)=2 \pi e^{-|\omega|} G_{2}(\omega)

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier
X(j\omega)=2\pi e^{-|\omega|}\,G_{2}(\omega)
e pede para determinar x(t), a função no domínio do tempo cuja transformada é X(j\omega).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dado: }X(j\omega)=2\pi\,e^{-|\omega|}\,G_{2}(\omega).
\text{Pedido: encontrar }x(t)=\mathcal{F}^{-1}\{X(j\omega)\}.
Observação útil (que usarei adiante): G_{2}(\omega) representa a transformada de Fourier de alguma função no tempo que denominarei g_{2}(t), isto é,
G_{2}(\omega)=\mathcal{F}\{g_{2}(t)\}.
O enunciado não dá explicitamente g_{2}(t), por isso terei que expressar x(t) em função de g_{2}(t). Mais adiante dou um exemplo concreto para quando g_{2}(t) for conhecido.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula da transformada inversa de Fourier (convenção de frequência angular):
\mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} H(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Aplicando isso diretamente a X(j\omega) obtemos
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} 2\pi\,e^{-|\omega|}\,G_{2}(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Simplificando o fator 2\pi dentro da integral:
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|\omega|}\,G_{2}(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.

Passo 3

Agora uso o teorema da convolução no contexto das transformadas de Fourier. Vou explicar e mostrar por que ele vale (de modo direto e didático).
Sejam a(t) e b(t) funções com transformadas A(\omega) e B(\omega). Pelo teorema da convolução:
\mathcal{F}\{a*b\}(\omega)=A(\omega)\,B(\omega),
onde a convolução temporal está definida por
(a*b)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} a(\tau)\,b(t-\tau)\,d\tau.
Justificativa rápida (esqueleto da demonstração): começar da definição
\mathcal{F}\{a*b\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\!\left(\int_{-\infty}^{\infty} a(\tau)\,b(t-\tau)\,d\tau\right)e^{-j\omega t}dt,
trocar a ordem das integrais (Fubini), fazer a mudança de variável u=t-\tau na integral externa e reconhecer que surgem os fatores A(\omega) e B(\omega). Assim a transformada da convolução é o produto das transformadas. Consequentemente, por invertendo a relação, o produto A(\omega)B(\omega) tem como transformada inversa o sinal convoluído a*b.

Passo 4

Aplicando o teorema da convolução ao nosso caso: identifique
A(\omega)=e^{-|\omega|},\qquad B(\omega)=G_{2}(\omega).
Se a(t)=\mathcal{F}^{-1}\{A(\omega)\} e g_{2}(t)=\mathcal{F}^{-1}\{G_{2}(\omega)\} (ou seja, g_{2}(t) é a função correspondente a G_{2}(\omega)), então a transformada inversa de A(\omega)\,G_{2}(\omega) é o produto convolucional (a*g_{2})(t).
Mas atenção: nossa X(j\omega) tem um fator extra 2\pi. Usando a definição da transformada inversa:
\mathcal{F}^{-1}\{2\pi A(\omega)G_{2}(\omega)\}(t)=\frac{1}{2\pi}\int 2\pi A(\omega)G_{2}(\omega)e^{j\omega t}d\omega =\int A(\omega)G_{2}(\omega)e^{j\omega t}d\omega.
Comparando com a expressão padrão para \mathcal{F}^{-1}\{A(\omega)G_{2}(\omega)\}=(a*g_{2})(t)=\frac{1}{2\pi}\int A(\omega)G_{2}(\omega)e^{j\omega t}d\omega, vemos que o fator 2\pi no domínio da frequência corresponde a multiplicar por 2\pi no domínio do tempo. Assim
\mathcal{F}^{-1}\{2\pi A(\omega)G_{2}(\omega)\}(t)=2\pi\,(a*g_{2})(t).

Passo 5

Agora preciso achar explicitamente a(t)=\mathcal{F}^{-1}\{e^{-|\omega|}\}.
Usarei um par de transformadas padrão muito comum e útil:
\mathcal{F}\left\{\frac{1}{1+t^{2}}\right\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-j\omega t}}{1+t^{2}}\,dt=\pi\,e^{-|\omega|}.
Esta é uma transformada clássica (pode ser demonstrada por integração complexa ou tabelas de transforms). Dividindo ambos os lados por \pi obtemos o par
\mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi(1+t^{2})}\right\}(\omega)=e^{-|\omega|}.
Portanto
a(t)=\frac{1}{\pi(1+t^{2})}.
Explicando em palavras: e^{-|\omega|} é a transformada de Fourier da função de Cauchy normalizada a(t)=\dfrac{1}{\pi(1+t^{2})}.

Passo 6

Juntando tudo:
  • A(\omega)=e^{-|\omega|} corresponde a a(t)=\dfrac{1}{\pi(1+t^{2})}.
  • G_{2}(\omega) corresponde a g_{2}(t).
  • X(j\omega)=2\pi A(\omega)G_{2}(\omega) tem como transformada inversa x(t)=2\pi\,(a*g_{2})(t).
Agora escrevo o produto convolucional explicitamente:
(a*g_{2})(t)=\int_{-\infty}^{\infty} a(\tau)\,g_{2}(t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi(1+\tau^{2})}\,g_{2}(t-\tau)\,d\tau.
Multiplicando por 2\pi (por causa do fator 2\pi em X):
x(t)=2\pi\,(a*g_{2})(t)=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi(1+\tau^{2})}\,g_{2}(t-\tau)\,d\tau.
Cancelando \pi:
x(t)=2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g_{2}(t-\tau)}{1+\tau^{2}}\,d\tau.
Alternativamente, trocando a variável de integração (substituindo \tau\mapsto t-\tau) obtemos a forma equivalente
x(t)=2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g_{2}(\tau)}{1+(t-\tau)^{2}}\,d\tau.
Exemplo concreto rápido para ganhar confiança: se g_{2}(t)=\delta(t) então G_{2}(\omega)=1 e
X(j\omega)=2\pi e^{-|\omega|}.
Pela fórmula acima,
x(t)=2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta(\tau)}{1+(t-\tau)^{2}}\,d\tau = \frac{2}{1+t^{2}},
que coincide com a inversa direta: 2\pi vezes 1/(\pi(1+t^{2})) 2/(1+t^{2}). Isso confirma a consistência.

Resposta

x(t)=2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g_{2}(t-\tau)}{1+\tau^{2}}\,d\tau
ou, equivalentemente,
x(t)=2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g_{2}(\tau)}{1+(t-\tau)^{2}}\,d\tau

Exercícios relacionados