Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determine os zeros reais da função fornecida. As informações dadas são:
- A função é
. - Não há termos em
de grau 1 nem termo constante além do termo quadrático multiplicado por .
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa “zero” (ou “raiz”) de uma função. Um número
é zero de
quando
. Ou seja, para achar os zeros de
devemos resolver a equação
Passo 3
Aplicando isso ao enunciado, escrevemos a equação que devemos resolver:
Explicação didática: esta é uma equação algébrica simples onde o lado esquerdo é um produto do número
pelo quadrado de
. Para resolver, podemos usar propriedades básicas da álgebra.
Passo 4
Usar a propriedade que permite dividir uma equação por um número diferente de zero: se
e
, então
. Aqui
e
, portanto podemos dividir ambos os lados por
sem alterar as soluções. Fazendo isso:
Explicação didática: dividir por um número não nulo é válido porque a divisão é a operação inversa da multiplicação; isso não cria, nem perde soluções quando o divisor não é zero.
Passo 5
Resolver
. A propriedade do “quadrado” diz que um número real ao quadrado é sempre maior ou igual a zero; o único número real cujo quadrado é exatamente zero é o próprio zero. Assim,
Explicação didática: em termos simples, se
, então a única possibilidade é
, porque
e para qualquer
tem-se
.
Passo 6
Outra maneira equivalente (útil para treinar) é fatorar
:
Pelo princípio do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero) e sabendo que
, concluímos que tem que ser
. Isso confirma a solução anterior.
Passo 7
Observação sobre multiplicidade e interpretação gráfica (ajuda na prova): a raiz
tem multiplicidade
(porque
aparece), o que significa que a parábola associada toca o eixo
em
e não o atravessa. O coeficiente dominante é
, negativo, então a parábola abre para baixo e seu vértice está em
.