Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
f(x)=-5 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determine os zeros reais da função fornecida. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=-5 x^{2}.
  • Não há termos em x de grau 1 nem termo constante além do termo quadrático multiplicado por -5.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa “zero” (ou “raiz”) de uma função. Um número a é zero de f quando f(a)=0. Ou seja, para achar os zeros de f devemos resolver a equação
f(x)=0.

Passo 3

Aplicando isso ao enunciado, escrevemos a equação que devemos resolver:
-5 x^{2}=0.
Explicação didática: esta é uma equação algébrica simples onde o lado esquerdo é um produto do número -5 pelo quadrado de x. Para resolver, podemos usar propriedades básicas da álgebra.

Passo 4

Usar a propriedade que permite dividir uma equação por um número diferente de zero: se a\neq0 e a\cdot b=0, então b=0. Aqui a=-5 e a\neq0, portanto podemos dividir ambos os lados por -5 sem alterar as soluções. Fazendo isso:
x^{2}=0.
Explicação didática: dividir por um número não nulo é válido porque a divisão é a operação inversa da multiplicação; isso não cria, nem perde soluções quando o divisor não é zero.

Passo 5

Resolver x^{2}=0. A propriedade do “quadrado” diz que um número real ao quadrado é sempre maior ou igual a zero; o único número real cujo quadrado é exatamente zero é o próprio zero. Assim,
x=0.
Explicação didática: em termos simples, se x^{2}=0, então a única possibilidade é x=0, porque 0^{2}=0 e para qualquer x\neq0 tem-se x^{2}>0.

Passo 6

Outra maneira equivalente (útil para treinar) é fatorar f(x):
f(x)=-5x^{2}=-5\cdot x\cdot x.
Pelo princípio do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero) e sabendo que -5\neq0, concluímos que tem que ser x=0. Isso confirma a solução anterior.

Passo 7

Observação sobre multiplicidade e interpretação gráfica (ajuda na prova): a raiz x=0 tem multiplicidade 2 (porque x^{2} aparece), o que significa que a parábola associada toca o eixo x em x=0 e não o atravessa. O coeficiente dominante é -5, negativo, então a parábola abre para baixo e seu vértice está em (0,0).

Resposta

x=0

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