Exercício 0.6 Sejam m e n dois números inteiros positivo tais que m e n são ímpares consecutivos e m n=1599. Qual é o valor de m+n ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • m e n são inteiros positivos.
  • m e n são ímpares consecutivos.
  • m n = 1599.
O que o enunciado pede:
  • Calcular m+n.

Passo 2

Entendendo “ímpares consecutivos”: dois inteiros ímpares consecutivos diferem em 2. Isso significa que existe um inteiro t tal que
m = t-1,\qquad n = t+1,
onde t é o ponto médio entre m e n. Um exemplo concreto para fixar a ideia: para m=7 e n=9 temos t=8, ou seja, 7=8-1 e 9=8+1.

Passo 3

Usamos agora a identidade algébrica conhecida como “diferença de quadrados”:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aplicando com a=t e b=1 obtemos
(t-1)(t+1)=t^2-1.

Passo 4

Substituindo m=t-1 e n=t+1 na condição m n = 1599, obtemos
(t-1)(t+1)=1599.
Pelo passo anterior isso é
t^2-1=1599.
Logo
t^2=1599+1=1600.

Passo 5

Agora resolvemos t^2=1600. Como t é o ponto médio de dois inteiros positivos, devemos escolher a raiz positiva:
t=\sqrt{1600}=40.

Passo 6

Voltando às fórmulas m=t-1 e n=t+1, temos
m=40-1=39,\qquad n=40+1=41.
Verificação rápida do produto:
39\cdot41=39\cdot(40+1)=39\cdot40+39=1560+39=1599,
ou seja, confere com a condição do enunciado.

Passo 7

Calculamos a soma pedida:
m+n=39+41=80.

Resposta

80

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