Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os zeros reais da função
dada por
Informações fornecidas:
- A função é um polinômio quadrático de coeficientes desconhecidos até agora.
- Pedido: encontrar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Método escolhido: usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para resolver equações do tipo
. Razão: a função é um polinômio quadrático e essa fórmula dá diretamente as raízes reais ou complexas, dependendo do discriminante.
Passo 3
Apresentando a fórmula e o discriminante:
A solução da equação é dada por
A solução da equação
onde
(o discriminante) é
Explicação didática: aqui
,
e
são os coeficientes do termo quadrático, termo linear e termo independente, respectivamente. O discriminante indica:
- se
: duas raízes reais distintas; - se
: uma raiz real dupla; - se
: raízes complexas (não reais).
Passo 4
Identificando os coeficientes na função dada:
Passo 5
Calcular o discriminante
.
Primeiro, calcular :
Primeiro, calcular
Em seguida, calcular
:
Agora somar para obter
:
Observação:
, portanto existem duas raízes reais distintas.
Passo 6
Simplificar
. Note que
logo, como
é a raiz positiva,
Passo 7
Aplicar a fórmula quadrática:
Calcular as duas possibilidades separadamente.
Caso
:
Caso
:
Passo 8
Verificação rápida (substituição):
Para :
Para
Para
:
Ambos anulam
, confirmação correta.