Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
f(x)=x^{2}+(1-\sqrt{3}) x- \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os zeros reais da função f dada por
f(x)=x^{2}+(1-\sqrt{3})x-\sqrt{3}.
Informações fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático de coeficientes desconhecidos até agora.
  • Pedido: encontrar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Método escolhido: usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para resolver equações do tipo ax^{2}+bx+c=0. Razão: a função é um polinômio quadrático e essa fórmula dá diretamente as raízes reais ou complexas, dependendo do discriminante.

Passo 3

Apresentando a fórmula e o discriminante:
A solução da equação ax^{2}+bx+c=0 é dada por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
onde \Delta (o discriminante) é
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicação didática: aqui a, b e c são os coeficientes do termo quadrático, termo linear e termo independente, respectivamente. O discriminante indica:
  • se \Delta>0: duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0: uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0: raízes complexas (não reais).

Passo 4

Identificando os coeficientes na função dada:
a=1,\qquad b=1-\sqrt{3},\qquad c=-\sqrt{3}.

Passo 5

Calcular o discriminante \Delta.
Primeiro, calcular b^{2}:
b^{2}=(1-\sqrt{3})^{2}=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}.
Em seguida, calcular -4ac:
-4ac=-4\cdot1\cdot(-\sqrt{3})=4\sqrt{3}.
Agora somar para obter \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=(4-2\sqrt{3})+4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}.
Observação: \Delta=4+2\sqrt{3}>0, portanto existem duas raízes reais distintas.

Passo 6

Simplificar \sqrt{\Delta}. Note que
(\sqrt{3}+1)^{2}=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}=\Delta,
logo, como \sqrt{\Delta} é a raiz positiva,
\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}+1.

Passo 7

Aplicar a fórmula quadrática:
x=\frac{-(1-\sqrt{3})\pm(\sqrt{3}+1)}{2}.
Calcular as duas possibilidades separadamente.
Caso +:
x_{1}=\frac{-(1-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Caso -:
x_{2}=\frac{-(1-\sqrt{3})-(\sqrt{3}+1)}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}{2}=\frac{-2}{2}=-1.

Passo 8

Verificação rápida (substituição):
Para x=\sqrt{3}:
f(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})\sqrt{3}-\sqrt{3}=3+(\sqrt{3}-3)-\sqrt{3}=0.
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{2}+(1-\sqrt{3})(-1)-\sqrt{3}=1-1+\sqrt{3}-\sqrt{3}=0.
Ambos anulam f, confirmação correta.

Resposta

\sqrt{3}
-1

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