Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Se W_{1} e W_{2} são susbespaços vetoriais do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), então W_{1} \cup W_{2} é subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, \cdot).

Passo 1

O enunciado afirma que, dados dois subespaços vetoriais W_{1} e W_{2} de um espaço vetorial (V,+,\cdot), a união W_{1}\cup W_{2} também seria um subespaço de V. Para decidir isso, vamos usar os critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando: um subconjunto U\subseteq V é subespaço se e somente se
  1. \mathbf{0}\in U.
  2. Para quaisquer u,v\in U, tem-se u+v\in U.
  3. Para qualquer u\in U e qualquer escalar \lambda, tem-se \lambda u\in U.

Passo 3

Para refutar a afirmação em geral, basta um contra-exemplo. Considere
V = \mathbb{R}^2,\quad W_{1} = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \quad\text{e}\quad W_{2} = \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Ambos são subespaços de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Observe que (1,0)\in W_{1}\subset W_{1}\cup W_{2}
e (0,1)\in W_{2}\subset W_{1}\cup W_{2},
mas
(1,0)+(0,1) = (1,1)\notin W_{1}\cup W_{2},
pois (1,1) não está nem no eixo x nem no eixo y. Logo W_{1}\cup W_{2} falha em ser fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.

Resposta

A afirmação é falsa.

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