Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Sejam
e
subespaços vetoriais do espaço vetorial
. Então,
é subespaço vetorial do espaço vetorial (
) se, e somente se,
ou
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pergunta sobre condições para que a união
de dois subespaços de
seja ela própria um subespaço de
. Lembrando que um subconjunto
é subespaço se e somente se satisfaz (i)
, (ii) fechamento para soma e (iii) fechamento para multiplicação escalar. Vamos provar o “se, e somente se” dividindo em duas implicações:
- Se
é subespaço, então ou . - Se
ou , então é subespaço.
Passo 2
Suponha que
seja subespaço mas, por absurdo, que nem
nem
. Então existem
e .
Como é subespaço, ele é fechado para soma, logo
e
Como
Dois casos:
- Se
, então como é subespaço, . Soma em dá
contradição com
.
2) Se , então
e
2) Se
contradição com
.
Em ambos os casos há contradição, logo não pode ocorrer que ambos contenham vetores fora do outro. Concluímos que ou ou
.
Em ambos os casos há contradição, logo não pode ocorrer que ambos contenham vetores fora do outro. Concluímos que ou
Passo 3
Agora suponha
. Então
e como
é subespaço, sua união com
também é subespaço. De modo análogo, se
então
, que é subespaço.
Resposta
A afirmação é verdadeira.