Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais do espaço vetorial (V,+, \cdot). Então, W_{1} \cup W_{2} é subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) se, e somente se, W_{1} \subseteq W_{2} ou W_{2} \subseteq W_{1}.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre condições para que a união W_{1}\cup W_{2} de dois subespaços de V seja ela própria um subespaço de V. Lembrando que um subconjunto U\subseteq V é subespaço se e somente se satisfaz (i) \mathbf{0}\in U, (ii) fechamento para soma e (iii) fechamento para multiplicação escalar. Vamos provar o “se, e somente se” dividindo em duas implicações:
  1. Se W_{1}\cup W_{2} é subespaço, então W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}.
  2. Se W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}, então W_{1}\cup W_{2} é subespaço.

Passo 2

Suponha que W_{1}\cup W_{2} seja subespaço mas, por absurdo, que nem W_{1}\subseteq W_{2} nem W_{2}\subseteq W_{1}. Então existem \displaystyle u\in W_{1}\setminus W_{2}
e \displaystyle v\in W_{2}\setminus W_{1}.
Como W_{1}\cup W_{2} é subespaço, ele é fechado para soma, logo
u+v\;\in\;W_{1}\cup W_{2}.
Dois casos:
  1. Se u+v\in W_{1}, então como W_{1} é subespaço, -\,u\in W_{1}. Soma em W_{1}
(u+v)+(-u)=v\;\in\;W_{1},
contradição com v\notin W_{1}.
2) Se u+v\in W_{2}, então -\,v\in W_{2} e
(u+v)+(-v)=u\;\in\;W_{2},
contradição com u\notin W_{2}.
Em ambos os casos há contradição, logo não pode ocorrer que ambos contenham vetores fora do outro. Concluímos que ou W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}.

Passo 3

Agora suponha W_{1}\subseteq W_{2}. Então
W_{1}\cup W_{2}=W_{2},
e como W_{2} é subespaço, sua união com W_{1} também é subespaço. De modo análogo, se W_{2}\subseteq W_{1} então W_{1}\cup W_{2}=W_{1}, que é subespaço.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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