Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Se W_{1} e W_{2} são susbespaços vetoriais do espaço vetorial ( V,+, \cdot ), então W_{1} \cap W_{2} é subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, \cdot).

Passo 1

O enunciado afirma que W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. O conteúdo aqui é a teoria de subespaços: para mostrar que um subconjunto U\subseteq V é subespaço, usamos o critério seguinte:
(i) \mathbf{0}_V\in U,
(ii) se u,v\in U então u+v\in U,
(iii) se \alpha é escalar e u\in U então \alpha u\in U.

Passo 2

Como W_{1} e W_{2} são subespaços, cada um contém o vetor nulo de V. Logo
\mathbf{0}_V\in W_{1} e \mathbf{0}_V\in W_{2},
de onde
\mathbf{0}_V\in W_{1}\cap W_{2}.

Passo 3

Sejam u,v\in W_{1}\cap W_{2}. Então u,v\in W_{1} e u,v\in W_{2}. Como ambos são subespaços, fecham-se em soma, isto é,
u+v\in W_{1} e u+v\in W_{2}.
Portanto
u+v\in W_{1}\cap W_{2},
mostrando fechamento em soma.

Passo 4

Seja \alpha qualquer escalar e u\in W_{1}\cap W_{2}. Então u\in W_{1} e u\in W_{2}. Cada subespaço fecha-se em multiplicação por escalar, logo
\alpha u\in W_{1} e \alpha u\in W_{2}.
Assim
\alpha u\in W_{1}\cap W_{2},
mostrando fechamento em escalar.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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