Exercício 5. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
Se
e
são susbespaços vetoriais do espaço vetorial (
), então
é subespaço vetorial do espaço vetorial
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. O conteúdo aqui é a teoria de subespaços: para mostrar que um subconjunto
é subespaço, usamos o critério seguinte:
(i) ,
(ii) se então
,
(iii) se é escalar e
então
.
(i)
(ii) se
(iii) se
Passo 2
Como
e
são subespaços, cada um contém o vetor nulo de
. Logo
e
,
de onde
.
de onde
Passo 3
Sejam
. Então
e
. Como ambos são subespaços, fecham-se em soma, isto é,
e
.
Portanto
,
mostrando fechamento em soma.
Portanto
mostrando fechamento em soma.
Passo 4
Seja
qualquer escalar e
. Então
e
. Cada subespaço fecha-se em multiplicação por escalar, logo
e
.
Assim
,
mostrando fechamento em escalar.
Assim
mostrando fechamento em escalar.
Resposta
A afirmação é verdadeira.