Exercício 6. Encontre, em cada um dos itens abaixo, os subespaços vetoriais U+W e U \cap W, onde U, W são subespaços do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) indicado.
V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), munido das operações usuais, U \doteq\left\{p \in V ; p^{\prime \prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\} e W \doteq\left\{q \in V ; q^{\prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os subespaços
U+W\quad\text{e}\quad U\cap W
em V=\mathscr{P}_3(\mathbb{R}), onde
U=\{\,p\in V:p''(t)=0\text{ para todo }t\}
e
W=\{\,q\in V:q'(t)=0\text{ para todo }t\}.
O conteúdo é manipular subespaços de polinômios, usando as condições em derivadas.

Passo 2

Determinamos U. Se p\in U então p''(t)=0 para todo t, ou seja, a segunda derivada é identicamente zero. Isso implica que p é um polinômio de grau no máximo 1. Logo
U=\{\,p(t)=a\,t+b : a,b\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Determinamos W. Se q\in W então q'(t)=0 para todo t, ou seja, a derivada é zero, logo q é constante. Assim
W=\{\,q(t)=c : c\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Calculamos U+W. Por definição,
U+W=\{\,p+q:p\in U,\;q\in W\}.
Mas todo q\in W já está em U (constantes são polinômios de grau \le1), logo
U+W=U.

Passo 5

Calculamos U\cap W. São os polinômios que são simultaneamente grau \le1 e constantes, ou seja, são exatamente as constantes. Portanto
U\cap W=W.

Resposta

U+W=U=\{\,a\,t+b:a,b\in\mathbb{R}\}
U\cap W=W=\{\,c:c\in\mathbb{R}\}

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