Exercício 6. Encontre, em cada um dos itens abaixo, os subespaços vetoriais
e
, onde
são subespaços do espaço vetorial (
) indicado.
, munido das operações usuais,
, para todo
e
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os subespaços
em
, onde
e
O conteúdo é manipular subespaços de polinômios, usando as condições em derivadas.
Passo 2
Determinamos
. Se
então
para todo
, ou seja, a segunda derivada é identicamente zero. Isso implica que
é um polinômio de grau no máximo 1. Logo
Passo 3
Determinamos
. Se
então
para todo
, ou seja, a derivada é zero, logo
é constante. Assim
Passo 4
Calculamos
. Por definição,
Mas todo
já está em
(constantes são polinômios de grau
), logo
Passo 5
Calculamos
. São os polinômios que são simultaneamente grau
e constantes, ou seja, são exatamente as constantes. Portanto