Exercício 9. A distribuição de probabilidades para a reclamação de danos sobre seguros de colisão pagos por uma companhia seguradora é mostrada como segue:
Pagamento ($) Probabilidade
0 0.90
400 0.04
1000 0.03
2000 0.01
4000 0.01
6000 0.01
(a) Use o pagamento de colisão esperado determinar o prêmio de seguro de colisão que possibilitaria a empresa não ter lucro nem prejuízo.
(b) A companhia de seguros cobra uma taxa anual de \ 260$ para a cobertura de colisão. Qual é o valor esperado da apólice de seguro contra colisão para o proprietário da apólice? (Esse valor é o
pagamento esperado menos o custo de cobertura). Por que o proprietário da apólice compra uma apólice de colisão com esse valor esperado?

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de probabilidade discreta dos pagamentos X que a seguradora faz em caso de colisão, com valores e probabilidades:
\begin{array}{c|c} X\;(\text{dólares}) & P(X)\\hline 0 & 0{,}90\\\\ 400 & 0{,}04\\\\ 1000 & 0{,}03\\\\ 2000 & 0{,}01\\\\ 4000 & 0{,}01\\\\ 6000 & 0{,}01 \end{array}ó
Queremos (a) calcular o prêmio que zera o lucro da seguradora, isto é, iguala ao valor esperado \mathbb{E}(X), e (b) calcular, para o segurado, o valor esperado da apólice que é \mathbb{E}(X) menos o custo fixo de \$260.

Passo 2

Calcular o valor esperado dos pagamentos usando a definição de esperança de variável discreta:
\mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_i\,P(X=x_i) = 400\cdot0{,}04 + 1000\cdot0{,}03 + 2000\cdot0{,}01 + 4000\cdot0{,}01 + 6000\cdot0{,}01.
Fazendo as operações:
400\cdot0{,}04 = 16,\quad 1000\cdot0{,}03 = 30,\quad 2000\cdot0{,}01 = 20,\quad 4000\cdot0{,}01 = 40,\quad 6000\cdot0{,}01 = 60,
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\mathbb{E}(X)=16+30+20+40+60=166.

Passo 3

Para a seguradora não ter lucro nem prejuízo, o prêmio deve igualar \mathbb{E}(X). Assim, o prêmio justo é
\$166.

Passo 4

O valor esperado da apólice para o segurado é a diferença entre o que ele espera receber e o que paga de taxa \$260:
\mathbb{E}(\text{apólice}) = \mathbb{E}(X) - 260 = 166 - 260 = -94.ó

Passo 5

Esse resultado negativo significa que, em média, o segurado perde \$94. No entanto, ele aceita pagar a mais do que o valor esperado de indenização porque é avesso ao risco: prefere pagar uma taxa certa para evitar a possibilidade de ter de desembolsar milhares de dólares num único sinistro.

Resposta

(a) \$166
(b) -\$94; o segurado compra a apólice por ser avesso ao risco e trocar uma perda certa pequena pela segurança de não arcar com eventuais grandes despesas.

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