Exercício 9. A distribuição de probabilidades para a reclamação de danos sobre seguros de colisão pagos por uma companhia seguradora é mostrada como segue:
Pagamento ($)
Probabilidade
0
0.90
400
0.04
1000
0.03
2000
0.01
4000
0.01
6000
0.01
(a) Use o pagamento de colisão esperado determinar o prêmio de seguro de colisão que possibilitaria a empresa não ter lucro nem prejuízo.
(b) A companhia de seguros cobra uma taxa anual de
260$ para a cobertura de colisão. Qual é o valor esperado da apólice de seguro contra colisão para o proprietário da apólice? (Esse valor é o
pagamento esperado menos o custo de cobertura). Por que o proprietário da apólice compra uma apólice de colisão com esse valor esperado?
Pagamento ($) | Probabilidade |
0 | 0.90 |
400 | 0.04 |
1000 | 0.03 |
2000 | 0.01 |
4000 | 0.01 |
6000 | 0.01 |
(b) A companhia de seguros cobra uma taxa anual de
pagamento esperado menos o custo de cobertura). Por que o proprietário da apólice compra uma apólice de colisão com esse valor esperado?
Passo 1
O enunciado fornece uma distribuição de probabilidade discreta dos pagamentos
que a seguradora faz em caso de colisão, com valores e probabilidades:
Queremos (a) calcular o prêmio que zera o lucro da seguradora, isto é, iguala ao valor esperado
, e (b) calcular, para o segurado, o valor esperado da apólice que é
menos o custo fixo de
.
Passo 2
Calcular o valor esperado dos pagamentos usando a definição de esperança de variável discreta:
Fazendo as operações:
logo
Passo 3
Para a seguradora não ter lucro nem prejuízo, o prêmio deve igualar
. Assim, o prêmio justo é
Passo 4
O valor esperado da apólice para o segurado é a diferença entre o que ele espera receber e o que paga de taxa
:
Passo 5
Esse resultado negativo significa que, em média, o segurado perde
. No entanto, ele aceita pagar a mais do que o valor esperado de indenização porque é avesso ao risco: prefere pagar uma taxa certa para evitar a possibilidade de ter de desembolsar milhares de dólares num único sinistro.
Resposta
(a)
(b) ; o segurado compra a apólice por ser avesso ao risco e trocar uma perda certa pequena pela segurança de não arcar com eventuais grandes despesas.
(b)