Exercício 8. A Swift Manufacturing pode escolher entre a compra de dois ativos. A taxa de retorno anual e as probabilidades relacionadas, dadas na tabela a seguir, resumem a análise desse ponto, feita pela empresa.
Projeto 257 Projeto 432
Taxa de retorno Probabilidade Taxa de retorno Probabilidade
-10% 0.01 10% 0.05
10% 0.04 15% 0.10
20% 0.05 20% 0.10
30% 0.10 25% 0.15
40% 0.15 30% 0.20
45% 0.30 35% 0.15
50% 0.15 40% 0.10
60% 0.10 45% 0.10
70% 0.05 50% 0.05
80% 0.04
100% 0.01
(a) Calcule para cada projeto:
i) A faixa de possíveis taxas de retorno.
ii) O valor do retorno esperado.
iii) O desvio padrão dos retornos.
(b) Construa um gráfico de barras de cada distribuição de taxas de retorno.
(c) Qual projeto você consideraria menos arriscado? Por quê?

Passo 1

O enunciado apresenta duas “variáveis aleatórias” discretas, cada uma representando a taxa de retorno anual de um projeto (257 e 432) com suas probabilidades associadas. Pede-se:
  1. A faixa de valores (mínimo e máximo).
  2. O retorno esperado E[R].
  3. O desvio–padrão \sigma.
    Para isso vamos usar as fórmulas
E[R]=\sum_{i}x_i\,p_i
\mathrm{Var}(R)=\sum_{i}(x_i - E[R])^2\,p_i \sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(R)}

Passo 2

Para o projeto 257 temos as taxas x_i (em %) e probabilidades p_i: -10\%\,(0{,}01),\,10\%\,(0{,}04),\,20\%\,(0{,}05),\,30\%\,(0{,}10),\,40\%\,(0{,}15),\,45\%\,(0{,}30),\,50\%\,(0{,}15),\,60\%\,(0{,}10),\,70\%\,(0{,}05),\,80\%\,(0{,}04),\,100\%\,(0{,}01).
(i) A faixa é de -10\% até 100\%.
(ii) O retorno esperado é
E[R_{257}] =\sum_i x_i\,p_i =-10\cdot0{,}01 + 10\cdot0{,}04 + 20\cdot0{,}05 + 30\cdot0{,}10 + 40\cdot0{,}15
\quad{}+45\cdot0{,}30 +50\cdot0{,}15 +60\cdot0{,}10 +70\cdot0{,}05 +80\cdot0{,}04 +100\cdot0{,}01 =45\%
(iii) A variância é
\mathrm{Var}(R_{257}) =\sum_i (x_i -45)^2\,p_i =273{,}5\;(\%\!)^2
portanto o desvio–padrão é
\sigma_{257} =\sqrt{273{,}5}\approx16{,}53\%.

Passo 3

Para o projeto 432 temos as taxas x_i e probabilidades p_i: 10\%\,(0{,}05),\,15\%\,(0{,}10),\,20\%\,(0{,}10),\,25\%\,(0{,}15),\,30\%\,(0{,}20),\,35\%\,(0{,}15),\,40\%\,(0{,}10),\,45\%\,(0{,}10),\,50\%\,(0{,}05).
(i) A faixa é de 10\% até 50\%.
(ii) O retorno esperado é
E[R_{432}] =\sum_i x_i\,p_i =10\cdot0{,}05+15\cdot0{,}10+20\cdot0{,}10+25\cdot0{,}15+30\cdot0{,}20
\quad{}+35\cdot0{,}15+40\cdot0{,}10+45\cdot0{,}10+50\cdot0{,}05 =30\%.
(iii) A variância é
\mathrm{Var}(R_{432}) =\sum_i (x_i -30)^2\,p_i =112{,}5\;(\%\!)^2
logo
\sigma_{432} =\sqrt{112{,}5}\approx10{,}61\%.

Passo 4

Para o gráfico de barras de cada projeto, faça:
– No eixo horizontal os possíveis valores de x_i (as taxas de retorno).
– No eixo vertical as probabilidades p_i.
– Para cada valor x_i desenhe uma barra com altura p_i.
Isso ilustra visualmente a distribuição de probabilidades de retorno de cada projeto.

Passo 5

Para comparar o risco, observamos o desvio–padrão e a faixa de variação:
– Projeto 257: \sigma_{257}\approx16{,}53\%, faixa [-10\%,100\%].
– Projeto 432: \sigma_{432}\approx10{,}61\%, faixa [10\%,50\%].
O projeto 432 é menos arriscado, pois tem desvio–padrão menor e variação de retorno mais restrita.

Resposta

(a)(i) Projeto 257: de -10\% a 100\%. Projeto 432: de 10\% a 50\%.
(a)(ii) E[R_{257}]=45\%, E[R_{432}]=30\%.
(a)(iii) \sigma_{257}\approx16{,}53\%, \sigma_{432}\approx10{,}61\%.
(b) Gráficos de barras: eixo x = taxas de retorno, eixo y = probabilidades, barras de altura p_i.
(c) Projeto 432, pois apresenta menor desvio–padrão e faixa de variação mais estreita.

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