Exercício 8. Dizemos que as funções u(x, y) e v(x, y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se
u_{x}(x, y)=v_{y}(x, y) \text { e } u_{y}(x, y)=-v_{x}(x, y)
Mostre que as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
u(x, y)=e^{x} \cos y e v(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y.

Passo 1

O enunciado dá as funções
u(x,y)=e^{x}\cos y
e
v(x,y)=e^{x}\sin y
e pede para mostrar que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_{x}=v_{y} \quad\text{e}\quad u_{y}=-\,v_{x}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u.
Derivando em relação a x:
u_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\cos y.
Derivando em relação a y:
u_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\,\frac{d}{dy}(\cos y) =-e^{x}\sin y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de v.
Derivando em relação a x:
v_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\sin y.
Derivando em relação a y:
v_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\,\frac{d}{dy}(\sin y) =e^{x}\cos y.

Passo 4

Comparar os resultados com as equações de Cauchy–Riemann:
u_{x}(x,y)=e^{x}\cos y \quad\text{e}\quad v_{y}(x,y)=e^{x}\cos y,
logo u_{x}=v_{y}.
u_{y}(x,y)=-e^{x}\sin y \quad\text{e}\quad v_{x}(x,y)=e^{x}\sin y,
logo u_{y}=-\,v_{x}.

Resposta

As funções satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

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