Exercício 8. Dizemos que as funções u(x, y) e v(x, y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se
u_{x}(x, y)=v_{y}(x, y) \text { e } u_{y}(x, y)=-v_{x}(x, y)
Mostre que as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
u(x, y)=x^{2}-y^{2} e v(x, y)=2 x y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções \displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2} e \displaystyle v(x,y)=2xy
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann
u_{x}(x,y)=v_{y}(x,y) \quad\text{e}\quad u_{y}(x,y)=-\,v_{x}(x,y).
O conteúdo aqui é derivação parcial de funções reais de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u. \displaystyle u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x. \displaystyle u_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de v. \displaystyle v_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y. \displaystyle v_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann: \displaystyle u_{x}(x,y)=2x e \displaystyle v_{y}(x,y)=2x, logo u_{x}=v_{y}. \displaystyle u_{y}(x,y)=-2y e \displaystyle -\,v_{x}(x,y)=-2y, logo u_{y}=-\,v_{x}.

Resposta

As funções satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

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