Exercício 1. Dois modelos de equipamentos misturadores foram testados para homogeneizar uma mistura em uma indústria de alimentos. A ideia é selecionar um dos modelos para aquisição e modernizar a atual linha de produção. Como resultado de 8 testes, tem-se os tempos de mistura em segundos dados por:
Teste 1 Teste 2 Teste 3 Teste 4 Teste 5 Teste 6 Teste 7 Ter
Modelo 1 91,5 94,2 92,2 95,4 91,8 89,1 94,7 (85,2
Modelo 2 89,2 90,9 90,5 93,2 97,2 97,0 91,1 92,8
E se as variâncias populacionais fossem conhecidas e dadas por |c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline & Teste 1 & Teste 2 & Teste 3 & Teste 4 & Teste 5 & Teste 6 & Teste 7 & Ter hline Modelo 1 & 91,5 & 94,2 & 92,2 & 95,4 & 91,8 & 89,1 & 94,7 & (85,2 hline Modelo 2 & 89,2 & 90,9 & 90,5 & 93,2 & 97,2 & 97,0 & 91,1 & 92,8 hline e sigma1^2=4 ?
Caso: Teste de hipótese com dois parâmetros: Igualdade de médias com variâncias populacionais conhecidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois modelos de misturadores testados em 8 ocasiões cada e queremos saber se as médias dos tempos de mistura desses modelos são iguais. Estamos lidando com teste de hipótese para igualdade de médias quando as variâncias populacionais são conhecidas. Para isso, vamos precisar calcular a média de cada modelo e usar a fórmula do teste z para duas amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de mistura para cada modelo. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de testes. Vamos lá:
Modelo 1:
barX1 = 91,5 + 94,2 + 92,2 + 95,4 + 91,8 + 89,1 + 94,7 + 85,28
barX1 = 734,78
barX1 = 91,8375 segundos
Modelo 2:
barX2 = 89,2 + 90,9 + 90,5 + 93,2 + 97,2 + 97,0 + 91,1 + 92,88
barX2 = 732,08
barX2 = 91,5 segundos

Passo 3

Agora que temos as médias, vamos formular nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0: mu1 = mu2 ): As médias dos dois modelos são iguais.
H1: mu1 neq mu2
  • Hipótese alternativa ( ): As médias dos dois modelos s��o diferentes.

Passo 4

Como conhecemos as variâncias populacionais ( z = barX1 - barX2raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2 e ), vamos usar o teste z para duas amostras. A fórmula para o cálculo do valor z é:
Onde:
  • e são as médias das amostras.
  • e são as variâncias conhecidas.
  • e são os tamanhos das amostras (ambos são 8 aqui).

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
z = 91,8375 - 91,5raiz48 + 18
z = 0,3375raiz0,5 + 0,125
z = 0,3375raiz0,625
z = 0,33750,7906
z approx 0,426

Passo 6

Agora, precisamos comparar o valor calculado de z com o valor crítico da distribuição normal padrão para o nível de significância que estivermos usando. Se não foi especificado, geralmente usamos .
Para um teste bicaudal com , os valores críticos são aproximadamente e .

Passo 7

Vamos analisar:
  • Se z approx 0,426 ou : Rejeitamos .
  • Se : Não rejeitamos .
No nosso caso:
Como está entre e , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que as médias dos tempos de mistura dos dois modelos são diferentes. Portanto, podemos considerar que as médias são iguais dentro do nível de significância de 5%.

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