Seja um ponto em um componente mecânico manufaturado utilizando um elástico, linear e isotrópico (cujas propriedades são dadas abaixo). Nesse conhecida toda a matriz deformações. Obtenha o estado de tensões relacionad deformações.
Módulo de elasticidade transversal:
Coeficiente de Poisson: 0,30
Módulo de elasticidade transversal:
Coeficiente de Poisson: 0,30
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o estado de tensões a partir de um estado de deformações em um componente mecânico que usa um elástico linear e isotrópico. Isso envolve conceitos da mecânica dos materiais, como o módulo de elasticidade transversal (G) e o coeficiente de Poisson (ν). Para resolver, vamos usar a relação entre tensão e deformação para materiais isotrópicos, que nos permite calcular as tensões conhecendo as deformações e as propriedades do material.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre tensão (σ) e deformação (ε) para materiais isotrópicos. Essa relação é dada pela Lei de Hooke generalizada:
Aqui, $ G $ é o módulo de elasticidade transversal, $ \lambda $ é um dos parâmetros de Lamé, $ tr(\varepsilon) $ é a traça da matriz de deformações (soma das deformações normais) e $ I $ é a matriz identidade.
Passo 3
Para usar essa fórmula, precisamos encontrar o valor de $ \lambda $. Sabemos que o coeficiente de Poisson $ \nu $ está relacionado com os parâmetros de Lamé pela equação:
Vamos calcular $ \lambda $ usando os valores fornecidos: $ G = 80,0 , GPa $ e $ \nu = 0,30 $.
Passo 4
Calculando $ \lambda $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a traça da matriz de deformações $ tr(\varepsilon) $. A matriz de deformações dada é:
A traça é a soma dos elementos diagonais:
Passo 6
Com $ G = 80,0 , GPa $, $ \lambda = 120,0 , GPa $ e $ tr(\varepsilon) = -1,33333 \times 10^{-5} $, podemos agora calcular a matriz de tensões $ \sigma $:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro, multiplicamos a matriz de deformações por $ 2G $:
Então:
Calculando cada elemento:
Passo 8
Agora, calculamos $ \lambda , tr(\varepsilon) \times I $:
Então, a matriz identidade $ I $ multiplicada por $ -0,0016 $ GPa fica:
Passo 9
Por fim, somamos as duas matrizes para obter o estado de tensões $ \sigma $:
Resposta
O estado de tensões relacionado às deformações é: