Seja um ponto em um componente mecânico manufaturado utilizando um elástico, linear e isotrópico (cujas propriedades são dadas abaixo). Nesse conhecida toda a matriz deformações. Obtenha o estado de tensões relacionad deformações.
Módulo de elasticidade transversal: 80,0 GPa
Coeficiente de Poisson: 0,30
Estado de deformações: varepsilon=[ccc 2,00 & 0,00 & 1,25 0,00 & -1,33333 & -2,5 1,25 & -2,5 & -2,00 ] 10^-4 çõ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o estado de tensões a partir de um estado de deformações em um componente mecânico que usa um elástico linear e isotrópico. Isso envolve conceitos da mecânica dos materiais, como o módulo de elasticidade transversal (G) e o coeficiente de Poisson (ν). Para resolver, vamos usar a relação entre tensão e deformação para materiais isotrópicos, que nos permite calcular as tensões conhecendo as deformações e as propriedades do material.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre tensão (σ) e deformação (ε) para materiais isotrópicos. Essa relação é dada pela Lei de Hooke generalizada:
sigma = 2G varepsilon + lambda , tr(varepsilon) , I
Aqui, $ G $ é o módulo de elasticidade transversal, $ \lambda $ é um dos parâmetros de Lamé, $ tr(\varepsilon) $ é a traça da matriz de deformações (soma das deformações normais) e $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Para usar essa fórmula, precisamos encontrar o valor de $ \lambda $. Sabemos que o coeficiente de Poisson $ \nu $ está relacionado com os parâmetros de Lamé pela equação:
lambda
Vamos calcular $ \lambda $ usando os valores fornecidos: $ G = 80,0 , GPa $ e $ \nu = 0,30 $.

Passo 4

Calculando $ \lambda $:
lambda

Passo 5

Agora, vamos calcular a traça da matriz de deformações $ tr(\varepsilon) $. A matriz de deformações dada é:
tr(varepsilon)
A traça é a soma dos elementos diagonais:
varepsilon = 2,00 times 10^-4 & 0,00 & 1,25 times 10^-4 0,00 & -1,33333 times 10^-4 & -2,5 times 10^-4 1,25 times 10^-4 & -2,5 times 10^-4 & -2,00 times 10^-4

Passo 6

Com $ G = 80,0 , GPa $, $ \lambda = 120,0 , GPa $ e $ tr(\varepsilon) = -1,33333 \times 10^{-5} $, podemos agora calcular a matriz de tensões $ \sigma $:
G = 80,0 , GPa
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, multiplicamos a matriz de deformações por $ 2G $:
2G
Então:
2G varepsilon = 2 times 80,0 times varepsilon = 160,0 times varepsilon
Calculando cada elemento:
2G varepsilon = 160,0 times 2,00 times 10^-4 & 160,0 times 0,00 & 160,0 times 1,25 times 10^-4 160,0 times 0,00 & 160,0 times (-1,33333 times 10^-4) & 160,0 times (-2,5 times 10^-4) 160,0 times 1,25 times 10^-4 & 160,0 times (-2,5 times 10^-4) & 160,0 times (-2,00 times 10^-4)

Passo 8

Agora, calculamos $ \lambda , tr(\varepsilon) \times I $:
lambda , tr(varepsilon) times I
Então, a matriz identidade $ I $ multiplicada por $ -0,0016 $ GPa fica:
lambda , tr(varepsilon) times I = 120,0 times (-1,33333 times 10^-5) times I = -0,0016 times I , GPa

Passo 9

Por fim, somamos as duas matrizes para obter o estado de tensões $ \sigma $:
sigma

Resposta

O estado de tensões relacionado às deformações é:
sigma = 0,0304 & 0,000 & 0,020 0,000 & -0,022933 & -0,040 0,020 & -0,040 & -0,0336 , GPa

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