Exercício 1.7 Múons são formados a 10,0 \mathrm{~km} acima da superfície da Terra. Qual a magnitude do momento (no sistema de referências da Terra) necessário imediatamente após sua criação para que somente um a cada 10000 (dez mil) cheguem à superfície? A massa do múon é 207 vezes a massa do elétron.

Passo 1

O enunciado diz que múons são criados a uma altura de 10{,}0\;\mathrm{km} e têm tempo de vida próprio (no referencial do múon) \tau_{0}\approx2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s}. Queremos que apenas uma em cada 10000 sobrevivam até a superfície. O conteúdo usado aqui é o decaimento exponencial relativístico, em que o tempo de vida aparente no referencial da Terra é dilatado por \gamma.

Passo 2

A fração de múons que sobrevive após um tempo de viagem t (no referencial da Terra) é
f = \exp\!\bigl(-\tfrac{t}{\gamma\,\tau_{0}}\bigr).
Queremos f=1/10000. Logo,
\frac{t}{\gamma\,\tau_{0}} = \ln(10000) \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \frac{t}{\tau_{0}\,\ln(10000)}.

Passo 3

A distância L=10{,}0\;\mathrm{km} é percorrida praticamente à velocidade da luz c, então
t \approx \frac{L}{c} = \frac{10\,000\;\mathrm{m}}{3{,}0\times10^{8}\;\mathrm{m/s}} =3{,}33\times10^{-5}\;\mathrm{s}.
Substituindo em \gamma:
\gamma = \frac{3{,}33\times10^{-5}}{(2{,}2\times10^{-6})\ln(10^{4})} \approx1{,}64.

Passo 4

Com \gamma\approx1{,}64, temos
\beta = \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}} \approx\sqrt{1-\frac{1}{(1{,}64)^{2}}} \approx0{,}793,
onde \beta=v/c. O momento relativístico é
p = \gamma\,m_{\mu}\,v = \gamma\,m_{\mu}\,c\,\beta.
Como m_{\mu}=207\,m_{e} e m_{e}=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}, então
m_{\mu} =207\times9{,}11\times10^{-31}\;\mathrm{kg} \approx1{,}89\times10^{-28}\;\mathrm{kg}.

Passo 5

Calculando p:
m_{\mu}c = 1{,}89\times10^{-28}\times3{,}0\times10^{8} =5{,}67\times10^{-20}\;\mathrm{kg\cdot m/s},
p = \gamma\,\beta\,(m_{\mu}c) \approx1{,}64\times0{,}793\times5{,}67\times10^{-20} \approx7{,}4\times10^{-20}\;\mathrm{kg\cdot m/s}.
Em unidades de \mathrm{MeV}/c, usamos 1\;\mathrm{MeV}/c=5{,}34\times10^{-22}\;\mathrm{kg\cdot m/s}, então
p\approx\frac{7{,}4\times10^{-20}}{5{,}34\times10^{-22}} \approx138\;\mathrm{MeV}/c.

Resposta

O momento necessário é
p\approx7{,}4\times10^{-20}\;\mathrm{kg\cdot m/s} \quad\bigl(\approx138\;\mathrm{MeV}/c\bigr).

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