Exercício 5.1. Duas placas grandes de metal, separadas de 2^{\prime \prime} uma da outra, são aquecidas a 300^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. As emissividades são 0,95 e 0,3 respectivamente. Calcular a taxas de transferência de calor por radiação através do par de placas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Placas grandes, paralelas e voltadas uma para a outra, separadas por 2'' (dois polegadas).
  • Temperaturas: T_1 = 300^\circ\mathrm{C} (placa quente) e T_2 = 100^\circ\mathrm{C} (placa fria).
  • Emissividades: \varepsilon_1 = 0{,}95 e \varepsilon_2 = 0{,}30.
  • O enunciado pede: calcular a taxa de transferência de calor por radiação através do par de placas. Como a área não foi dada e as placas são “grandes”, vamos calcular o fluxo de calor por unidade de área (fluxo radiativo líquido), isto é q'' em \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 2

Conceitos e fórmula a usar (explicação didática).
  • Corpo negro e Lei de Stefan–Boltzmann: a emissão total de um corpo negro por unidade de área é \sigma T^4, onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Aqui
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Emissividade \varepsilon: diz quanto a superfície emite em relação a um corpo negro à mesma temperatura. Para superfícies cinzentas, difusas, em troca entre si, existe uma resistência à troca radiativa associada às emissividades.
  • Para duas superfícies grandes, paralelas e diretamente expostas uma à outra (fator de vista F_{1\to2}=F_{2\to1}=1), o fluxo radiativo líquido por unidade de área vindo da placa 1 para a placa 2 é dado pela expressão (resultado padrão do método dos fluxos/radiosidades):
q''=\frac{\sigma\bigl(T_1^{4}-T_2^{4}\bigr)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1}.
  • Observação importante: a separação (2'') entre as placas não entra na fórmula quando as placas são grandes e perfeitamente voltadas (o fator de vista é 1); só importa se a geometria/obstruções mudarem o fator de vista.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e calcular T_1^4 e T_2^4.
  • Conversões:
T_1 = 300^\circ\mathrm{C} = 300+273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 100+273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular os quadrados intermediários (para facilitar o controle de contas):
T_1^2 = (573{,}15)^2 = 328\,500{,}9225, \qquad T_2^2 = (373{,}15)^2 = 139\,240{,}9225.
  • Agora elevar ao quadrado novamente para obter a quarta potência:
T_1^4 = (328\,500{,}9225)^2 \approx 1{,}0788085608\times10^{11}\\ \mathrm{K^4},
T_2^4 = (139\,240{,}9225)^2 \approx 1{,}9388034499\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}.
  • Diferença:
T_1^4 - T_2^4 \approx 8{,}8492821585\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}.

Passo 4

Calcular o numerador \sigma\bigl(T_1^4-T_2^4\bigr).
\sigma\bigl(T_1^4-T_2^4\bigr) = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 8{,}8492821585\times10^{10} \approx 5{,}017{,}8743178\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 5

Calcular a “resistência” conjuntiva (denominador) das superfícies e o fluxo líquido.
  • Denominador:
\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}-1 = \frac{1}{0{,}95}+\frac{1}{0{,}30}-1 \approx 1{,}052631579 + 3{,}333333333 - 1 \approx 3{,}385964912.
  • Agora o fluxo radiativo líquido por unidade de área:
q''=\frac{5{,}017{,}8743178\times10^{3}}{3{,}385964912} \approx 1{,}482{,}8\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
(Arredondando, q''\approx 1{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.)

Passo 6

Interpretação e observações finais.
  • O fluxo é positivo no sentido de T_1 (300°C) para T_2 (100°C), ou seja, há transferência de calor por radiação da placa quente para a fria.
  • Como a área não foi dada, o resultado é dado por unidade de área. Se for necessária a taxa total \dot{Q} para uma área A, basta multiplicar:
\dot{Q}=q''\times A.
  • A separação de 2'' não aparece na expressão porque as placas são grandes e diretamente voltadas (fator de vista igual a 1). Em geometrias diferentes, o fator de vista ou a presença de camadas de gás/isolantes poderia modificar a expressão.

Resposta

q'' \approx 1{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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