- Exercício 4.20. Um longo cilindro (
) de diâmetro externo 64 mm e interno 60 mm é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a
. Quando água a
e velocidade
flui transversalmente ao cilindro a potência requerida na resistência é 28 KW por metro de comprimento do cilindro. Quando ar a
e velocidade de
flui do mesmo modo a potência requerida é 400 W por metro de comprimento do cilindro. a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar; b) Calcular a temperatura da superfície interna do cilindro em ambos casos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Diâmetros:
- diâmetro externo
. - diâmetro interno
. - raios:
, .
- diâmetro externo
- Temperaturas:
- temperatura da superfície externa
. - temperatura do fluido ambiente
. - diferença
.
- temperatura da superfície externa
- Potências fornecidas (por metro de comprimento, isto é,
em W/m): - com água:
. - com ar:
.
- com água:
- Condutividade térmica do material do cilindro:
-
. - dado de conversão fornecido:
(logo ).
-
- O enunciado pede:
(a) calcular os coeficientes de película (coeficientes convectivos)para água e ar;
(b) calcular a temperatura da superfície interna do cilindro (ou seja,) em ambos os casos.
Passo 2
Conceito e fórmula para obter
(parte a).
- Definição prática: para uma superfície cilíndrica longa, a taxa de calor por unidade de comprimento cedida por convecção ao fluido é
- A área lateral por unidade de comprimento de um cilindro de diâmetro
é . Então
- Isolando
:
Essa fórmula é direta:
tem unidades de
.
Agora aplico essa fórmula para os dois casos.
Cálculo numérico (água):
Faço as contas passo a passo:
Cálculo numérico (ar):
Comentário rápido (didático): a mesma diferença de temperatura e mesma área aparecem nos dois casos; a potência dissipada é a que muda, e por isso
resulta bem maior no caso da água (fluxo muito mais eficiente).
Passo 3
Preparação para calcular a temperatura interna
(parte b): resistência de condução radial.
- Para condução estacionária em uma casca cilíndrica fina a regra (derivada da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas) dá a taxa de calor por unidade de comprimento
- Aqui:
-
é a potência por comprimento (W/m), -
é a condutividade térmica do material (em ), -
são os raios externo e interno, -
e são, respectivamente, a temperatura da superfície interna e externa.
-
- Isolando
:
Antes de usar a fórmula é preciso converter
para unidades SI (
) usando o dado:
, logo
.
Conversão:
Calculo do fator geométrico (logaritmo):
Passo 4
Cálculo numérico de
para os dois casos, usando a fórmula
(1) Caso água (
):
- Numerador para o incremento de temperatura:
- Denominador
:
- Incremento:
- Logo
(2) Caso ar (
):
- Numerador:
- Incremento:
- Logo
Interpretação rápida (amistosa): a parede do cilindro tem condutividade relativamente baixa e a potência no caso da água é muito elevada (
), então a temperatura interna fica muito alta — quase
. No caso do ar a potência é bem menor e a diferença interna/externa é pequena.