• Exercício 4.20. Um longo cilindro ( \mathrm{k}=0,35 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) de diâmetro externo 64 mm e interno 60 mm é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90^{\circ} \mathrm{C}. Quando água a 25^{\circ} \mathrm{C} e velocidade 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} flui transversalmente ao cilindro a potência requerida na resistência é 28 KW por metro de comprimento do cilindro. Quando ar a 25{ }^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} flui do mesmo modo a potência requerida é 400 W por metro de comprimento do cilindro. a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar; b) Calcular a temperatura da superfície interna do cilindro em ambos casos.
\mathrm{DADO}: 1 \mathrm{~W}=0,86 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Diâmetros:
    • diâmetro externo \,D_o = 64\\ \mathrm{mm} = 0,064\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro interno \,D_i = 60\\ \mathrm{mm} = 0,060\\ \mathrm{m}.
    • raios: r_o = 0,032\\ \mathrm{m}, r_i = 0,030\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas:
    • temperatura da superfície externa \,T_o = 90^\circ\mathrm{C}.
    • temperatura do fluido ambiente \,T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}.
    • diferença \,\Delta T = T_o - T_\infty = 65^\circ\mathrm{C}.
  • Potências fornecidas (por metro de comprimento, isto é, q' em W/m):
    • com água: \,q'_{\text{água}} = 28\\ \mathrm{kW/m} = 28000\\ \mathrm{W/m}á.
    • com ar: \,q'_{\text{ar}} = 400\\ \mathrm{W/m}.
  • Condutividade térmica do material do cilindro:
    • \,k = 0,35\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}.
    • dado de conversão fornecido: 1\\ \mathrm{W}=0,86\\ \mathrm{kcal/h} (logo 1\\ \mathrm{kcal/h}=1/0{,}86\\ \mathrm{W}).
  • O enunciado pede:
    (a) calcular os coeficientes de película (coeficientes convectivos) h para água e ar;
    (b) calcular a temperatura da superfície interna do cilindro (ou seja, T_i) em ambos os casos.

Passo 2

Conceito e fórmula para obter h (parte a).
  • Definição prática: para uma superfície cilíndrica longa, a taxa de calor por unidade de comprimento cedida por convecção ao fluido é
q' = h\,(\text{área por unidade de comprimento})\,(T_o-T_\infty).á
  • A área lateral por unidade de comprimento de um cilindro de diâmetro D_o é \pi D_o. Então
q' = h\,\pi D_o\,(T_o-T_\infty).
  • Isolando h:
h=\frac{q'}{\pi D_o (T_o-T_\infty)}.
Essa fórmula é direta: h tem unidades de \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
Agora aplico essa fórmula para os dois casos.
Cálculo numérico (água):
h_{\text{água}}=\frac{28000}{\pi\cdot 0,064\cdot 65}.á
Faço as contas passo a passo:
0,064\cdot 65 = 4{,}16,
\pi\cdot 4{,}16 \approx 13{,}069,
h_{\text{água}}\approx \frac{28000}{13{,}069}\approx 2142{,}6\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.á
Cálculo numérico (ar):
h_{\text{ar}}=\frac{400}{\pi\cdot 0,064\cdot 65} =\frac{400}{13{,}069}\approx 30{,}61\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}.
Comentário rápido (didático): a mesma diferença de temperatura e mesma área aparecem nos dois casos; a potência dissipada é a que muda, e por isso h resulta bem maior no caso da água (fluxo muito mais eficiente).

Passo 3

Preparação para calcular a temperatura interna T_i (parte b): resistência de condução radial.
  • Para condução estacionária em uma casca cilíndrica fina a regra (derivada da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas) dá a taxa de calor por unidade de comprimento
q'=\frac{2\pi k}{\ln(r_o/r_i)}\,(T_i-T_o).
  • Aqui:
    • q' é a potência por comprimento (W/m),
    • k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}),
    • r_o,r_i são os raios externo e interno,
    • T_i e T_o são, respectivamente, a temperatura da superfície interna e externa.
  • Isolando T_i:
T_i = T_o + q'\,\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k}.
Antes de usar a fórmula é preciso converter k para unidades SI ( \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}) usando o dado: 1\\ \mathrm{W}=0,86\\ \mathrm{kcal/h}, logo 1\\ \mathrm{kcal/h}=1/0{,}86\\ \mathrm{W}.
Conversão:
k = 0{,}35\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h\cdot m\cdot {}^\circ C}} =0{,}35\cdot\frac{1}{0{,}86}\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot{}^\circ C}} \approx 0{,}35\cdot 1{,}16279 \approx 0{,}40698\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
Calculo do fator geométrico (logaritmo):
\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)=\ln\!\left(\frac{0,032}{0,030}\right)=\ln(1{,}0666667)\approx 0{,}0645385.

Passo 4

Cálculo numérico de T_i para os dois casos, usando a fórmula
T_i = T_o + q'\,\frac{\ln(r_o/r_i)}{2\pi k}.
(1) Caso água ( q'_{\text{água}}=28000\\ \mathrm{W/m}á):
  • Numerador para o incremento de temperatura:
q'\ln(r_o/r_i)=28000\cdot 0{,}0645385\approx 1807{,}079\\ \mathrm{W/m}\cdot{}^\circ C.
  • Denominador 2\pi k:
2\pi k \approx 2\pi\cdot 0{,}40698 \approx 2{,}55712\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}.
  • Incremento:
\Delta T_{\text{cond}}=\frac{1807{,}079}{2{,}55712}\approx 706{,}85\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Logo
T_{i,\text{água}} = 90 + 706{,}85 \approx 796{,}85^\circ\mathrm{C}.á
(2) Caso ar ( q'_{\text{ar}}=400\\ \mathrm{W/m}):
  • Numerador:
q'\ln(r_o/r_i)=400\cdot 0{,}0645385\approx 25{,}8154.
  • Incremento:
\Delta T_{\text{cond}}=\frac{25{,}8154}{2{,}55712}\approx 10{,}09\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Logo
T_{i,\text{ar}} = 90 + 10{,}09 \approx 100{,}09^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida (amistosa): a parede do cilindro tem condutividade relativamente baixa e a potência no caso da água é muito elevada ( 28\\ \mathrm{kW/m}), então a temperatura interna fica muito alta — quase 800^\circ\mathrm{C}. No caso do ar a potência é bem menor e a diferença interna/externa é pequena.

Resposta

h_{\text{água}} \approx 2{,}14\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}á
h_{\text{ar}} \approx 30{,}6\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot{}^\circ C)}
T_{i,\text{água}} \approx 797^\circ\mathrm{C}á
T_{i,\text{ar}} \approx 100{,}1^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados